如圖,BE、CD是△ABC的高,連DE.
(1)求證:AE•AC=AB•AD;
(2)若∠BAC=120゜,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),求證:DE=DM.

證明:(1)∵BE、CD是△ABC的高,
∴∠AEB=∠ADC=90°,
而∠EAB=∠DAC,
∴△AEB∽△ADC,
∴AB:AC=AE:AD,
∴AE•AC=AB•AD;

(2)連結(jié)ME,如圖,
∵∠BAC=120゜,
∴∠BAE=60°,
∴∠EBA=30°,
∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),
∴MB=ME=MD=MC,
∴點(diǎn)B、E、D、C在以M點(diǎn)為圓心,MD為半徑的圓上,
∴∠DME=2∠EBD=2×30°=60°,
∴△MED為等邊三角形,
∴DE=DM.
分析:(1)由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°,加上∠EAB=∠DAC,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC,則AB:AC=AE:AD,利用比例性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)連結(jié)ME,由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°,則∠EBA=30°,由點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MB=ME=MD=MC,于是可判斷點(diǎn)B、E、D、C在以M點(diǎn)為圓心,MD為半徑的圓上,根據(jù)圓周角定理得∠DME=2∠EBD=60°,則可判斷△MED為等邊三角形,所以DE=DM.
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似;相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相等,都等于相似比.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及圓周角定理.
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HL
”.

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5
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2
2
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