Question

在平面直角坐標系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點E是線段OB延長線上一點，M是線段OB上一動點（不包括點O、B），作MN⊥DM，垂足為M，交∠CBE的平分線于點N .

（1）寫出點C的坐標；

（2）求證：MD = MN；

（3）連接DN交BC于點F，連接FM，下列兩個結論：①FM的長度不變；②MN平分∠FMB，其中只有一個結論是正確的，請你指出正確的結論，并給出證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）C（2，2）（2）見解析（3）MN平分∠FMB成立．證明見解析

【解析】（1）C（2，2）；（2分）

（2）在OD上取OH=OM，連接HM，

∵OD=OB，OH=OM，

∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，

∴∠DHM=180-45=135°，

∵NB平分∠CBE，

∴∠NBE=45°，

∴∠NBM=180-45=135°，

∴∠DHM=∠NBM，

∵∠DMN=90°，

∴∠DMO+∠NMB=90°，

∵∠HDM+∠DMO=90°，

∴∠HDM=∠NMB，

又∵DH=MB，

∴△DHM≌△MBN，

∴DM=MN．（3分）

（3）MN平分∠FMB成立．證明如下：

在BO延長線上取OA=CF，可證△DOA≌△DCF，△DMA≌△DMF，

FM=MA=OM+CF（不為定值），∠DFM=∠DAM=∠DFC，

過M作MP⊥DN于P，則∠FMP=∠CDF，

由（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，

∠NMB=∠MDO，∠MDO+∠CDF=45°，

進一步得∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB．(4分)

（1）根據(jù)四邊形OBCD是正方形所以點C的坐標應該是C（2，2）；

（2）可通過構建全等三角形來求解．在OD上取OH=OM，通過證三角形DHM和MBN全等來得出DM=MN．

（3）本題也是通過構建全等三角形來求解的．在BO延長線上取OA=CF，通過三角形OAD，F(xiàn)DC和三角形DAM，DMF這兩對全等三角形來得出FM和OM，CF的關系，從而得出FM是否是定值．然后再看∠FMN是否與∠NME相等．