Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．
（1）求證：CE=CF；
（2）將圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其他條件不變，如圖2，求證：A′E′是∠CE′D′的角平分線；
（3）試猜想：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CFE=∠AED，然后根據(jù)對頂角相等可得∠CEF=∠AED，從而得到∠CEF=∠CFE，再根據(jù)等角對等邊證明即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可得∠A′E′D′=∠AED，A′E′∥AE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠CFE=∠A′E′F，然后求出∠A′E′D′=∠A′E′F，根據(jù)角平分線的定義證明即可；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得∠2=∠3，AE=A′E′，求出∠1=∠3，再根據(jù)等角的余角相等求出∠B=∠4，再利用“角角邊”證明△ACE和△A′BE′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE′=CE，從而得到BE′=CF．

解答：證明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠1+∠CFE=90°，∠2+∠AED=90°，
∴∠CFE=∠AED，
∵∠CEF=∠AED（對頂角相等），
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）∵△ADE沿AB向右平移得到△A′D′E′，
∴∠A′E′D′=∠AED，A′E′∥AE，
∴∠CFE=∠A′E′F，
∵∠CFE=∠AED，
∴∠A′E′D′=∠A′E′F，
∴A′E′是∠CE′D′的角平分線；

（3）由平移的性質(zhì)得，∠2=∠3，AE=A′E′，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠4+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠B=∠4，
在△ACE和△A′BE′中，

∠1=∠3 ∠B=∠4 AE=A′E′

，
∴△ACE≌△A′BE′（AAS），
∴BE′=CE，
∵CE=CF，
∴BE′=CF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平移的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)以及三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，利用數(shù)字加弧線表示角更形象直觀．