【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(m,m),點B的坐標為(n,﹣n),拋物線經(jīng)過A、O、B三點,連接OA、OB、AB,線段AB交y軸于點C.已知實數(shù)m、n(m<n)分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為線段OB上的一個動點(不與點O、B重合),直線PC與拋物線交于D、E兩點(點D在y軸右側(cè)),連接OD、BD.
①當△OPC為等腰三角形時,求點P的坐標;
②求△BOD 面積的最大值,并寫出此時點D的坐標.
【答案】(1)y=x2+x;(2)①P點坐標為P1(,-)或P2(,﹣)或P3(,﹣),②D(,﹣).
【解析】試題分析:(1)首先解方程得出A,B兩點的坐標,進而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;
(2)①首先求出AB的直線解析式,以及BO解析式,再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當OC=OP時,當OP=PC時,點P在線段OC的中垂線上,當OC=PC時分別求出x的值即可;
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關于x的二次函數(shù),進而得出最值即可.
試題解析:解(1)解方程x2﹣2x﹣3=0,
得 x1=3,x2=﹣1.
∵m<n,
∴m=﹣1,n=3
∴A(﹣1,﹣1),B(3,﹣3).
∵拋物線過原點,設拋物線的解析式為y=ax2+bx(a≠0).
∴,
解得: ,
∴拋物線的解析式為y=x2+x .
(2)①設直線AB的解析式為y=kx+b.
∴;解得: ,
∴直線AB的解析式為y=x+.
∴C點坐標為(0,-).
∵直線OB過點O(0,0),B(3,﹣3),
∴直線OB的解析式為y=﹣x.
∵△OPC為等腰三角形,
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.
設P(x,﹣x),
(i)當OC=OP時,x2+(-x)2=.
解得x1=,x2=-,(舍去).
∴P1(,-).
(ii)當OP=PC時,點P在線段OC的中垂線上,
∴P2(,﹣).
(iii)當OC=PC時,由x2+(-x+)2=,
解得x1=,x2=0(舍去).
∴P3(,﹣).
∴P點坐標為P1(,-)或P2(,﹣)或P3(,﹣).
②過點D作DG⊥x軸,垂足為G,交OB于Q,過B作BH⊥x軸,垂足為H.
設Q(x,﹣x),D(x,-x2+x).
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH,
=DQ(OG+GH),
= [x+(+ )]×3,
=-(x-)2+,
∵0<x<3,
∴當x=時,S取得最大值為,此時D(,﹣).
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【題目】五一小長假,李軍與張明相約去寧波旅游,李軍從溫嶺北上沿海高速,同時張明從玉環(huán)蘆浦上沿海高速,溫嶺北與玉環(huán)蘆浦相距44千米,兩人約好在三門服務區(qū)集合,李軍由于離三門近,行駛了1.2小時先到達三門服務站等候張明,張明走了1.4小時到達三門服務站。在整個過程中,兩人均保持各自的速度勻速行駛,兩人相距的路程y千米與張明行駛的時間x小時的關系如圖所示,下列說法錯誤的是( )
A.李軍的速度是80千米/小時
B.張明的速度是100千米/小時
C.玉環(huán)蘆浦至三門服務站的路程是140千米
D.溫嶺北至三門服務站的路程是44千米
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【題目】我們規(guī)定:平面內(nèi)點A到圖形G上各個點的距離的最小值稱為該點到這個圖形的最小距離d,點A到圖形G上各個點的距離的最大值稱為該點到這個圖形的最大距離D,定義點A到圖形G的距離跨度為R=D-d.
(1)①如圖1,在平面直角坐標系xOy中,圖形G1為以O為圓心,2為半徑的圓,直接寫出以下各點到圖形G1的距離跨度:
A(1,0)的距離跨度______________;
B(-, )的距離跨度____________;
C(-3,-2)的距離跨度____________;
②根據(jù)①中的結(jié)果,猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是______________.
(2)如圖2,在平面直角坐標系xOy中,圖形G2為以D(-1,0)為圓心,2為半徑的圓,直線y=k(x-1)上存在到G2的距離跨度為2的點,求k的取值范圍.
(3)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,射線OP:y=x(x≥0),⊙E是以3為半徑的圓,且圓心E在x軸上運動,若射線OP上存在點到⊙E的距離跨度為2,求出圓心E的橫坐標xE的取值范圍.
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【題目】已知:如圖所示,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.若∠BOC=70°,∠AOC=50°.
(1)求出∠AOB及其補角的度數(shù);
(2)求出∠DOC和∠AOE的度數(shù),并判斷∠DOE 與∠AOB是否互補,并說明理由;
(3)若∠BOC=α,∠AOC=β,則∠DOE 與∠AOB是否互補,并說明理由.
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【題目】如圖,一只甲蟲在 5×5 的方格(每小格邊長為 1)上沿著網(wǎng)格線運動.它從 A處出發(fā)去看望 B、C、D 處的其它甲蟲,規(guī)定:向上向右走為正,向下向左走為負.如果從 A 到 B 記為:A→B(+1,+4),從 B 到 A 記為:B→A(﹣1,﹣4),其中第一個數(shù)表示左右方向,第二個數(shù)表示上下方向,那么圖中
(1)A→C( , ),B→C( , ),C→D ( , );
(2)若這只甲蟲的行走路線為 A→B→C→D,請計算該甲蟲走過的最少路程;
(3)若這只甲蟲從 A 處去甲蟲 P 處的行走路線依次為(+2,+2),(+2,﹣1),(﹣2,+3),(﹣1,﹣2),請在圖中標出 P 的位置.
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【題目】點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A、B兩點之間的距離表示為AB,在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a-b|.
利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題:
①數(shù)軸上表示1和3兩點之間的距離是
②數(shù)軸上表示x和-1的兩點之間的距離表示為
③若x表示一個有理數(shù),且-4<x<2,則|x-2|+|x+4|=
④若x表示一個有理數(shù),且|x-2|+|x+4|=8,則有理數(shù)x的值是
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【題目】如圖,已知AB=10,點C,D在線段AB上且AC=DB=2;P是線段CD上的動點,分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB,連接EF,設EF的中點為G;當點P從點C運動到點D時,則點G移動路徑的長是( ).
A.6B.5C.4D.3.
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【題目】如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,點D在AC上,點E在BA的延長線上,連接BD,CE,AD=AE,BD=CE.
(1)若BD=,AD=1,求BC的長度;
(2)將圖1中的BD延長,過點A作AF∥BC交BD延長線于點F,如圖2,連接FC,若BC=BF,求證:CD=CF.
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【題目】學校藝術節(jié)要印制節(jié)目單,有兩個印刷廠前來聯(lián)系業(yè)務,他們的報價相同,甲廠的優(yōu)惠條件是:按每份定價1.5元的八折收費,另收900元制版費;乙廠的優(yōu)惠條件是:每份定價1.5元的價格不變,而900元的制版費則六折優(yōu)惠.問:
(1)學校印制多少份節(jié)目單時兩個印刷廠費用是相同的?
(2)學校要印制1500份節(jié)目單,選哪個印刷廠所付費用少?
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