Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙D與坐標軸分別相交于A（-，0），B（，0），C（0，3）三點．

（1）求⊙D的半徑；

（2）E為優(yōu)弧AB一動點（不與A，B，C三點重合），EN⊥x軸于點N，M為半徑DE的中點，連接MN，求證：∠DMN=3∠MNE；

（3）在（2）的條件下，當∠DMN=45°時，求E點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）解：由于OA=OB= ，且OD⊥AB，根據垂徑定理知圓心D必在y軸上；

連接AD，設⊙D的半徑為R，則AD=R，OD=3-R；

Rt△ADO中，根據垂徑定理得：

,解得R=2；

即⊙D的半徑為2；

（2）證明：過D作DH⊥EN于H，連接MH；

易知四邊形DHNO是矩形，則HN=OD=1；

Rt△DHE中，MH是斜邊DE的中線，

∴DM=ME=MH=1 2 DE=1；

∴△MEH、△MHN是等腰三角形，即∠MEH=∠MHE=2∠MNE；

∵∠DMH=∠E+∠MHE，故∠DMH=3∠MNE；

（3）解：∵∠DMN=45°，

∴∠MNE=15°，∠E=30°；

Rt△DHE中，DE=2，∠E=30°；

∴DH=1，EH=  ；

∴EN=EH+HN= +1；

故E（1，  +1），

根據軸對稱性可知，點E在第二象限的對稱點（-1，+1）也可以．

故點E的坐標為：（1，  +1）或（-1， +1）．

【解析】（1）由于A、B關于y軸對稱，由垂徑定理知圓心D必在y軸上，可連接AD，在Rt△OAD中，用半徑表示出OD、AD的長，然后利用勾股定理求半徑的長．

（2）過D作EN的垂線，設垂足為H，易證得四邊形DHBO是矩形，則BH=OD=1；連接MH，在Rt△EDH中，MH是斜邊DE上的中線，則MH=ME=DM=1，由此可知∠E=∠MHE=2∠B；由于∠DMN是△MEB的外角，根據三角形外角的性質即可得出本題所求的結論；

（3）根據（2）的結論，易求得∠E=30°，在Rt△DEH中，根據⊙D的半徑及∠E的度數，即可求出DH、EH的長，也就得出了E點的坐標，再根據對稱性即可求出另一種情況的點E的坐標．