Question

如圖，矩形ABCD中，對角線AC=10，BC=5

3

，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作圓⊙B；以點(diǎn)D為圓心，R為半徑作⊙D．若r和R的大小是可變化的，并且在變化過程中保持⊙B和⊙D相切，且使A點(diǎn)在⊙B內(nèi)部，C在⊙B外部，求r和R的變化范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到5＜r＜5

3

，由于⊙B和⊙D相切，則分類討論：當(dāng)⊙B和⊙D外切時(shí)，R+r=10，則r=10-R；
當(dāng)⊙B和⊙D內(nèi)切時(shí)，R-r=10，則r=R-10，然后根據(jù)r的范圍確定對應(yīng)的R的范圍．

解答：解：在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=5

3

，
∴AB=

AC2-BC2

=5，
∵A點(diǎn)在⊙B內(nèi)部，C在⊙B外部，
∴5＜r＜5

3

，
當(dāng)⊙B和⊙D外切時(shí)，R+r=10，則r=10-R，
∴5＜10-R＜5

3

，
∴10-5

3

＜R＜5；
當(dāng)⊙B和⊙D內(nèi)切時(shí)，R-r=10，則r=R-10，
∴5＜R-10＜5

3

，
∴15＜R＜10+5

3

．

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d=r點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．也考查了兩圓相切的性質(zhì)．