【題目】如圖,在中,,動點從點出發(fā),沿以每秒個單位長度的速度向終點運(yùn)動,過作,交于點,以為鄰邊作平行四邊形,同時以為邊向下作正方形,設(shè)點的運(yùn)動時間為秒.
(1)點到直線的距離______________;(用含的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)點落在落在上時,求的值;
(3)設(shè)平行四邊形與正方形重疊部分的面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出的最大值.
(4)設(shè),當(dāng)時,直接寫出的取值范圍.
【答案】(1)t;(2)t=;(3)S= .S最大=;(4)t的值為1≤t≤或2≤t<3.
【解析】
(1)如圖1中,作AH⊥EF于H,交PQ于J.解直角三角形求出JH,AJ即可解決問題.
(2)如圖2中,當(dāng)點D在PF上時,根據(jù)BD=PBcos∠B,構(gòu)建方程即可解決問題.
(3)分兩種情形分別求解:①如圖3中,當(dāng)0<t≤時,重疊部分是△PGQ,②如圖4中,當(dāng)<t<3時,重疊部分四邊形PQDG.
(4)分兩種情形:①如圖5中,作DH∥PE交AB于H,連接EH.由DH∥PE,推出S△PED=S△PEH,推出S△PDE:S△APE=S△PHE:S△APE=PH:PA=m,由此構(gòu)建不等式即可解決問題.②如圖6中,作DH∥PE交AB于H,連接EH.構(gòu)建不等式即可解決問題.
解:(1)如圖1中,作AH⊥EF于H,交PQ于J.
∵PQ∥BC,
∴ ,
∴ ,
∴PQ=t,
∵四邊形PQEF是正方形,
∴∠QPF=∠F=90°,
∵AH⊥EF,
∴∠FHJ=90°,
∴四邊形PFHJ是矩形,
∴JH=PF=PQ=t,
在Rt△APJ中,AJ=PAsin∠APJ= =t,
∴AH=AJ+JH=t+ t.
(2)如圖2中,當(dāng)點D在PF上時,則有BD=PBcos∠B,
∵四邊形PQDB是平行四邊形,
∴BD=PQ,
∴(5-t,
解得t=.
(3)①如圖3中,當(dāng)0<t≤時,重疊部分是△PGQ,S= t2.
②如圖4中,當(dāng)<t<3時,重疊部分四邊形PQDG,
S=S平行四邊形PQDB-S△PBG= =-3t2+11t-6.
綜上所述,S= .
第一種情況,當(dāng)t=時,S最大=.第二種情況,當(dāng)t=時,S最大= .
綜上,S最大=.
(4)①如圖5中,作DH∥PE交AB于H,連接EH.
∵DH∥PE,
∴S△PED=S△PEH,
∴S△PDE:S△APE=S△PHE:S△APE=PH:PA=m,
由題意易知:PE∥AC∥DH,
∴BD:BC=BH:BA,
∴t:7=BH:5,
∴BH=t,
∴PH=5-t-t=5-t.
∴m=(5-t): t,
∵≤m≤1時,
∴≤ ≤1,
解得:1≤t≤ .
②如圖6中,作DH∥PE交AB于H,連接EH.
同法可得:∴ ≤1,
解得:2≤t≤3.
綜上所述,滿足條件的t的值為1≤t≤或2≤t≤3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC,AB=AC,BD是∠ABC的角平分線,EF是BD的中垂線,且分別交BC于點E,交AB于點F,交BD于點K,連接DE,DF.
(1)證明:DE//AB;
(2)若CD=3,求四邊形BEDF的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電,每個進(jìn)價為40元,經(jīng)市場預(yù)測,銷售定價為50元,可售出400個;定價每增加1元,銷售量將減少10個.設(shè)每個定價增加x元.
(1)寫出售出一個可獲得的利潤是多少元(用含x的代數(shù)式表示)?
(2)商店若準(zhǔn)備獲得利潤6000元,并且使進(jìn)貨量較少,則每個定價為多少元?應(yīng)進(jìn)貨多少個?
(3)商店若要獲得最大利潤,則每個應(yīng)定價多少元?獲得的最大利潤是多少?
【答案】(1)x+10元;(2)每個定價為70元,應(yīng)進(jìn)貨200個.(3)每個定價為65元時得最大利潤,可獲得的最大利潤是6250元.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)利潤=銷售價-進(jìn)價列關(guān)系式,(2)總利潤=每個的利潤×銷售量,銷售量為400-10x,列方程求解,根據(jù)題意取舍,(3)利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.
試題解析:由題意得:(1)50+x-40=x+10(元),
(2)設(shè)每個定價增加x元,
列出方程為:(x+10)(400-10x)=6000,解得:x1=10,x2=20,要使進(jìn)貨量較少,則每個定價為70元,應(yīng)進(jìn)貨200個,
(3)設(shè)每個定價增加x元,獲得利潤為y元,
y=(x+10)(400-10x)=-10x2+300x+4000=-10(x-15)2+6250,當(dāng)x=15時,y有最大值為6250,所以每個定價為65元時得最大利潤,可獲得的最大利潤是6250元.
【題型】解答題
【結(jié)束】
24
【題目】猜想與證明:
如圖1,擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B、C、G三點在一條直線上,CE在邊CD上,連接AF,若M為AF的中點,連接DM、ME,試猜想DM與ME的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
拓展與延伸:
(1)若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不變,則DM和ME的關(guān)系為 .
(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,使點F在邊CD上,點M仍為AF的中點,試證明(1)中的結(jié)論仍然成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,分別是邊上的點,,將沿所在直線折疊,點的對應(yīng)點正好落在線段上,若,則折痕的長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】長春的冬天經(jīng)常下雪,為了提高清雪的效率,市政府啟用了清雪機(jī),已知一臺清雪機(jī)的工作效率相當(dāng)于一名環(huán)衛(wèi)工人的200倍,若用這臺清雪機(jī)清理9000立方米的積雪,要比150名環(huán)衛(wèi)工人清理這些積雪少用2小時,求一臺清雪機(jī)每小時清雪多少立方米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一般捕魚船在A處發(fā)出求救信號,位于A處正西方向的B處有一艘救援艇決定前去數(shù)援,但兩船之間有大片暗礁,無法直線到達(dá).救援艇決定馬上調(diào)整方向,先向北偏東方以每小時30海里的速度航行,同時捕魚船向正北低速航行.30分鐘后,捕魚船到達(dá)距離A處海里的D處,此時救援艇在C處測得D處在南偏東的方向上.
求C、D兩點的距離;
捕魚船繼續(xù)低速向北航行,救援艇決定再次調(diào)整航向,沿CE方向前去救援,并且捕魚船和救援艇同達(dá)時到E處,若兩船航速不變,求的正弦值.參考數(shù)據(jù):,,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一個著名的希波克拉蒂月牙問題:如圖1,以直角三角形的各邊為直徑分別向上作半圓,則直角三角形的面積可表示成兩個月牙形的面積之和,現(xiàn)將三個半圓紙片沿直角三角形的各邊向下翻折得到圖2,把較小的兩張半圓紙片的重疊部分面積記為S1,大半圓紙片未被覆蓋部分的面積記為S2,則直角三角形的面積可表示成( 。
A.S1+S2B.S2﹣S1C.S2﹣2S1D.S1S2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,己知拋物線與軸相交于點,其對稱軸與拋物線相交于點,與軸相交于點.
(1)求的長;
(2)平移該拋物線得到一條新拋物線,設(shè)新拋物線的頂點為.若新拋物線經(jīng)過原點,且,求新拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年的寒假是“不同尋!钡囊粋假期.在這個超長假期里,某中學(xué)隨機(jī)對本校部分同學(xué)進(jìn)行“抗疫有我,在家可以這么做”的問卷調(diào)查:A扎實學(xué)習(xí)、B經(jīng)典閱讀、C分擔(dān)勞動、D樂享健康,(每位同學(xué)只能選一個),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)統(tǒng)計圖提供信息,解答問題:
(1)本次一共調(diào)查了_______名同學(xué);
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;在扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)的圓心角為 度;
(3)若該校共有1600名同學(xué),請你估計選擇A有多少名同學(xué)?
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