Question

在平面直角坐標系中，直線y=kx+m（-≤k≤）經(jīng)過點A（，4），且與y軸相交于點C．點B在y軸上，O為坐標原點，且OB=OA+7-2．記△ABC的面積為S．
（1）求m的取值范圍；
（2）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)點B在y軸的正半軸上，當(dāng)S取得最大值時，將△ABC沿AC折疊得到△AB′C，求點B′的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點在直線上的意義可知k+m=4，k=1-m．因為，即．解得2≤m≤6．
（2）根據(jù)題意易得：OA=，OB=7．所以B點的坐標為（0，7）或（0，-7）．
直線y=kx+m與y軸的交點為C（0，m）．
當(dāng)點B的坐標是（0，7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．所以S=•2•BC=（7-m）；
當(dāng)點B的坐標是（0，-7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．所以S=•2•BC=（7+m）．
（3）分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
利用Rt△ACD中的關(guān)系：tan∠ACD=，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
再利用Rt△B'CE中的線段之間的關(guān)系可求得，CE=，B′E=．故OE=CE-OC=．所以點B′的坐標為（）．
解答：解：（1）∵直線y=kx+m（-≤k≤）經(jīng)過點A（，4），
∴k+m=4，
∴k=1-m．
∵，∴．
解得2≤m≤6．

（2）∵A的坐標是（，4），∴OA=．
又∵OB=OA+7-2，∴OB=7．∴B點的坐標為（0，7）或（0，-7）．
直線y=kx+m與y軸的交點為C（0，m）．
①當(dāng)點B的坐標是（0，7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．
∴S=•2•BC=（7-m）．
②當(dāng)點B的坐標是（0，-7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．
∴S=•2•BC=（7+m）．

（3）當(dāng)m=2時，一次函數(shù)S=-+7取得最大值，這時C（0，2）．
如圖，分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
則AD=，CD=4-2=2．
在Rt△ACD中，tan∠ACD=，
∴∠ACD=60°．
由題意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，
∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，CB′=5，
∴CE=，B′E=．
故OE=CE-OC=．
∴點B′的坐標為（）．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．