Question

如圖∠PAC=30°在射線AC上順次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB為直徑作⊙O交射線AP于E、F，再以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．
（1）求圓心O到射線AP的距離；
（2）將射線AP向左平移多少個(gè)單位與⊙O相切？并求切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）作OG⊥AP于點(diǎn)G，在直角△AOG中利用直角三角形的性質(zhì)求得OG即可；
（2）當(dāng)A移動到A′時(shí)與圓相切，切點(diǎn)是M．連接OM，作MN⊥x軸于點(diǎn)N，再利用三角函數(shù)求得OA′的長，則平移的距離即可求解；在直角△A′MN中求得A′N，和MN，解求得ON的長，則M的坐標(biāo)可以求得．

解答：解：（1）作OG⊥AP于點(diǎn)G．
∵在直角△AOG中，∠PAC=30°，OA=AD+OD=AD+

1

2

BD=8，
∴OG=

1

2

OA=4cm，
即圓心O到射線AP的距離是4cm；

（2）當(dāng)A移動到A′時(shí)與圓相切，切點(diǎn)是M．連接OM，作MN⊥x軸于點(diǎn)N．
則∠AMO=90°，OM=5cm，
∵在直角△A′OM中，∠MA′O=30°
∴OA′=2OM=10cm，A′M=OA′•cos30°=5

3

cm．
∴AA′=OA′-OA=10-8=2cm．即將射線AP向左平移2個(gè)單位長度．
在直角△A′MN中，MN=A′M•sin30°=

5 3

2

（cm），
A′N=A′M•cos30°=5

3

×

3

2

=

15

2

（cm），
∴ON=OA′-A′N=10-

15

2

=2.5（cm）．
故M的坐標(biāo)是（2.5，

5 3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)以及切線的性質(zhì)，正確求得A′N的長度是關(guān)鍵．