Question

超市市場部整理出銷售某品牌新款童裝的銷售量與銷售單價的相關(guān)信息如下：

已知該童裝的進價為每件60元，設(shè)銷售單價為x元，銷售單價不低于進價，且獲利不得高于45%，設(shè)銷售該款童裝的利潤為W元．

（1）求利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式，并求銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

（2）若超市銷售該款童裝獲得的利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．

【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+120；再根據(jù)總利潤等于每一件的利潤乘以銷售總量得到W=（x﹣60）•y，把y=﹣x+120代入得到W=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x²+180x﹣7200（60≤x≤87）；然后配成頂點式為W=﹣（x﹣90）²+900，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當x＜90時，W隨x的增大而增大，則x=87時，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）²+900=891；

（2）令W=500，則﹣（x﹣90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，而當x＜90時，W隨x的增大而增大，即可得到當銷售單價的范圍為70（元）≤x≤87（元）時，該商場獲得利潤不低于500元．

【解答】解：（1）設(shè)銷售量為y件，由圖象知銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），

根據(jù)題意得，

解得，解得，

∴y=﹣x+120；

∴W=（x﹣60）•y

=（x﹣60）（﹣x+120）

=﹣（x﹣90）²+900，

∵拋物線開口向下，

∴當x＜90時，W隨x的增大而增大，

又∵60≤x≤60（1+45%），即60≤x≤87，

∴x=87時，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）²+900=891，

即銷售單價定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元；

（2）令W=500，則﹣（x﹣90）²+900=500，

解得x₁=70，x₂=110，

∵當x＜90時，W隨x的增大而增大，

∴要使超市銷售該款童裝獲得的利潤不低于500元，銷售單價應(yīng)在70元到110元之間，而60≤x≤87，

∴銷售單價x的范圍為70≤x≤87．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：先根據(jù)實際問題得到二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0），再得到頂點式y(tǒng)=a（x+）²+，當a＜0，二次函數(shù)有最大值，即x=﹣時，y的最大值為，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的應(yīng)用．