如圖,用兩個邊長均為1的正方形ABCD和DCEF拼成一個矩形ABEF,把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合,固定矩形ABEF,將直角三角尺繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn).
(1)觀察并證明:當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE、EF相交于點G、H時(如圖甲),通過觀察或測量BG與EH的長度,你能得到什么結(jié)論,并證明你的結(jié)論;
(2)操作:在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)直角三角尺的兩直角邊分別與射線BE、射線EF交于G、H(如圖乙是旋轉(zhuǎn)過程中的一種狀態(tài)),DG交EH于O,設(shè)BG=x(x>0).
探究①:設(shè)直角三角尺與矩形ABEF重疊部分的面積為y,直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
探究②:在旋轉(zhuǎn)過程中,∠DGE能否為30°?若能,設(shè)此時過點D有一直線分別與EF、EG交于M、N,該直線恰好平分△OEG的面積,求EM的長,若不能,請說明理由(注:
≈1.05).