如圖，已知銳角△ABC的外心為O，線段OA和BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N．若∠ABC=4∠OMN，
∠ACB=6∠OMN．求∠OMN的大�。�

【答案】分析：設(shè)∠OMN=x，則∠ABC=4x，∠ACB=6x．根據(jù)三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得OA=OB=OC．根據(jù)等腰三角形的三線合一和等邊對等角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，分別表示出∠NOC和∠AOC，進(jìn)一步計(jì)算出∠ONM=180°-（180°-10x+8x+x）=x．發(fā)現(xiàn)等腰三角形MON．則ON是OB的一半，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以求得∠OBN=30度．再求得∠OMN的大�。�
解答：解：設(shè)∠OMN=x，則∠ABC=4x，∠ACB=6x；
∴∠NOC=180°-10x，∠AOC=8x，
∴∠ONM=180°-（180°-10x+8x+x）=x，
∴△MON為等腰三角形，
∴；
∴∠OBN=30°，
∴180°-10x=60°，
∴x=12°．
點(diǎn)評：綜合運(yùn)用了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)．要熟練掌握三角形和圓的有關(guān)性質(zhì)才能靈活解題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知銳角△ABC的邊BC的長為6，面積為12，PQ∥BC，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，四邊形RPQS為正方形（RS與A在PQ的異側(cè)），其邊長為x，正方形RPQS與△ABC的公共面積為y．
（1）當(dāng)正方形RPQS的邊RS恰好落在BC上時(shí)，求邊長x．
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（2）當(dāng)RS不落在BC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及自變量x的取值范圍．（可以將圖形畫在備用的圖形中）
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（3）求y的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•裕華區(qū)二模）如圖①，將兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，使上面三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與下面三角板的直角頂點(diǎn)重合，并將上面的三角板繞著這個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)下面三角板的斜邊被分成三條線段時(shí)，我們來研究這三條線段之間的關(guān)系．
（1）實(shí)驗(yàn)與操作：
如圖②，如果上面三角板的一條直角邊旋轉(zhuǎn)到CM的位置時(shí)，它的斜邊恰好旋轉(zhuǎn)到CN的位置，請?jiān)诰W(wǎng)格中分別畫出以AM、MN和NB為邊長的正方形，觀察這三個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系；
（2）猜想與探究：
如圖③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB邊上的點(diǎn)，∠MCN=45°，作DA⊥AB于點(diǎn)A，截取DA=NB，并連接DC、DM．
我們來證明線段CD與線段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于點(diǎn)A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

請你繼續(xù)解答：
①線段MD與線段MN相等嗎？為什么？
②線段AM、MN、NB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，為什么？
（3）拓廣與運(yùn)用：
如圖④，已知線段AB上任意一點(diǎn)M（AM＜MB），是否總能在線段MB上找到一點(diǎn)N，使得分別以AM與BN為邊長的正方形的面積的和等于以MN為邊長的正方形的面積？若能，請?jiān)趫D④中畫出點(diǎn)N的位置，并簡要說明作法；若不能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程；
（3）若將銳角△ABC變?yōu)殁g角△ABC，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O（∠AOC為銳角）
（1）寫出∠AOC和∠BOD的大小關(guān)系
∠AOC=∠BOD
∠AOC=∠BOD
；判斷的依據(jù)是
對頂角相等
對頂角相等
．
（2）過點(diǎn)O作射線OE、OF，若∠COE=90°，OF平分∠AOE，畫出圖形并求∠AOF+∠COF的度數(shù)，說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，若∠AOD=120°，請計(jì)算∠COF的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O（∠AOC為銳角）
（1）寫出∠AOC和∠BOD的大小關(guān)系______；判斷的依據(jù)是______．
（2）過點(diǎn)O作射線OE、OF，若∠COE=90°，OF平分∠AOE，畫出圖形并求∠AOF+∠COF的度數(shù)，說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，若∠AOD=120°，請計(jì)算∠COF的度數(shù)．

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