Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE．
（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，DC∥AB．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE=

1

2

AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進(jìn)而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°，證明DE∥CB；
（2）當(dāng)AC=

1

2

AB或AB=2AC時(shí)，DE∥BC．DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進(jìn)而得到∠B=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可推出AC=

1

2

AB．

解答：（1）證明：連結(jié)CE．．
∵點(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CE=

1

2

AB=AE．
∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=CD．
∴DE∥BC．
在△ADE與△CDE中，

AD=DC DE=DE AE=CE

，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．

（2）解：∵∠DCB=150°，
若DC∥BE，
則∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB=

AC

AB

，sin30°=

AC

AB

=

1

2

，AC=

1

2

AB，或AB=2AC，
當(dāng)AC=

1

2

AB或AB=2AC時(shí)，DE∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定．