Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

1

2

x+6與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)．
（1）直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線y=x與直線y=-

1

2

x+6交于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O沿OA方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（即OP=t）．過點(diǎn)P作PQ∥x軸交直線BC于點(diǎn)Q．
①若點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖1），過P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為N、M，設(shè)矩形PQMN的面積為S，寫出S和t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
②若點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，過P、Q、O三點(diǎn)的圓與x軸相切？

Answer 1

分析：（1）令x=0以及y=0代入題中相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式可求出B，C的坐標(biāo)．
（2）已知點(diǎn)P在y=x上，OP=t，可求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)以及PQ的長．然后根據(jù)矩形公式求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式化簡求出S的最大值．
根據(jù)題意，點(diǎn)P經(jīng)過A點(diǎn)后繼續(xù)按原方向，原速度運(yùn)動(dòng)，則圓心在y軸上且y軸垂直平分PQ．得出∠POC=∠QOC=45°．

解答：解：（1）令x=0，則y=6；令y=0，則x=12，
∴B（12，0），C（0，6）．

（2）①點(diǎn)P在y=x上，OP=t，點(diǎn)P坐標(biāo)（

2

2

t，

2

2

t），點(diǎn)Q坐標(biāo)（12-

2

t，

2

2

t）．
PQ=12-

2

t-

2

2

t=12-

3 2

2

t，PN=

2

2

t．
S=PQ•PN=-1.5t²+6

2

t=-1.5（t²-4

2

t+8）+12=-1.5（t-2

2

）²+12．
當(dāng)t=2

2

時(shí)，S的最大值為12．
②若點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，過P、Q、O三點(diǎn)的圓與x軸相切，
則圓心在y軸上，且y軸垂直平分PQ．
∴∠POC=45°，
∴∠QOC=45°．
∴

2

t-12=

2

2

t，
∴t=12

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的圖象與應(yīng)用，矩形的面積公式以及圓的有關(guān)知識(shí)，難度中上．