Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），在線段BC上取一點(diǎn)Q（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），作QN⊥x軸于N，設(shè)線段QN長(zhǎng)為t．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求四邊形ACQN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）在y軸上有一點(diǎn)P，使△PQN為等腰直角三角形，求所有符合條件的t值；
（4）在直線QN上有一點(diǎn)M使MA+MC取得最小值3

5

，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)y=kx+b，把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得k、b的值，可求出直線BC的解析式；
（2）由條件可知∠ABC=45°，可表示出△BQN的面積，四邊形ACQN的面積為△ABC與△BQN的面積差，可表示出S；
（3）分NQ為直角邊和斜邊兩種情況分別討論求解即可；
（4）作C點(diǎn)關(guān)于直線QN的對(duì)稱點(diǎn)C′，可表示出C′的坐標(biāo)，連接AC′交直線QN于點(diǎn)M，表示出AC′，解出t，可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，由點(diǎn)B、C在函數(shù)圖象上可得

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

．
所以直線BC的解析式為y=x-3；
（2）由OB=OC可知∠OBC=45°，
∴BN=NQ=t，
∴S_△BQN=

1

2

BN•NQ=

1

2

t²，
∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6，
∴S=S_△ABC-S_△BQN=6-

1

2

t²，
∵Q點(diǎn)在BC上，
∴N點(diǎn)在OB上，
∴0＜t＜3，
所以S=6-

1

2

t²（0＜t＜3）；
（3）當(dāng)PN=QN=t時(shí)，BN=PN=t，即2t=3，解得t=1.5，
當(dāng)PQ=NQ=t時(shí)，則四邊形ONQP為正方形，同理可求得t=1.5，
當(dāng)PN=PQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在QN的垂直平分線上，

則可知OP=

1

2

NQ=

1

2

t，在Rt△BNQ中BQ=

2

t，在Rt△PNQ中PQ=

2

2

t，
∵∠PQN=∠BQN=45°，
∴∠PQB=90°，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PB²=PQ²+QB²=

5

2

t²，
在Rt△OBP中，由勾股定理可得PB²=OP²+OB²=

1

4

t²+9，
則有

5

2

t²=

1

4

t²+9，解得t=2或-2（舍去），
綜上可知所有滿足條件的t的值為1.5和2；
（4）作C點(diǎn)關(guān)于直線QN的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交QN于點(diǎn)M，則此時(shí)MA+MC取得最小值，即AC′=3

5

，

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CC′交C′C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則可知AD=OC=3，CD=AO=1，
由條件可知QN=BN=t，則ON=3-t，所以CC′=2（3-t）=6-2t，所以DC′=1+6-2t=7-2t
在Rt△ADC′中，由勾股定理可得：AC′²=AD²+DC′²，
即（3

5

）²=3²+（7-2t）²，解得t=0.5或t=6.5（舍去），
當(dāng)t=0.5時(shí)，則ON=3-t=

5

2

，CC′=5，
所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

5

2

，C′點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，-3），
可求得直線AC′的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

，
當(dāng)x=2.5時(shí)，代入可得y=-

7

4

，
所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

5

2

，-

7

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)和等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)稱等的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是常用方法，在（3）中分情況討論、在（4）中確定出M點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．