Question

已知拋物線y=-x²-3x+4和拋物線y=x²-3x-4相交于A，B兩點．點P在拋物線C₁上，且位于點A和點B之間；點Q在拋物線C₂上，也位于點A和點B之間．
（1）求線段AB的長；
（2）當(dāng)PQ∥y軸時，求PQ長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-x²-3x+4和拋物線y=x²-3x-4相交于A，B兩點，聯(lián)立解方程組求得x、y的值，進而確定A、B的坐標(biāo)．通過直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式求得AB的長．
（2）由（1）可知P點的橫坐標(biāo)取值介于A、B之間．當(dāng)PQ∥y軸時，說明P、Q兩點的橫坐標(biāo)相同，只要作縱坐標(biāo)的差的絕對值，根據(jù)橫坐標(biāo)的取值，確定差的最大值即可．

解答：解：（1）由題意得

y=-x2-3x+4 y=x2-3x-4

，
解方程組得

x1=-2 y1=6

，

x2=2 y2=-6

；
∴點A，B的坐標(biāo)分別是（-2，6），（2，-6）．
于是AB=

(2+2)2+(-6-6)2

=4

10

．

（2）如圖，
當(dāng)PQ∥y軸時，設(shè)點P，Q的坐標(biāo)分別為（t，-t²-3t+4），（t，t²-3t-4），-2＜t＜2，
因此PQ=2（4-t²）≤8，當(dāng)t=0時等號成立，所以，PQ的長的最大值為8．
答：（1）線段AB的長為4

10

；（2）PQ長度的最大值為8．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．