Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax+x+4的對(duì)稱軸是直線x＝3，且與軸相交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于C點(diǎn)．

（1）求出A點(diǎn)的坐標(biāo)、B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求出直線BC的解析式；

（3）點(diǎn)Q是直線BC上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)Q，使△QBC的面積最大．若存在，請(qǐng)求出△QBC的最大面積，若不存在，試說明理由；

(4)若E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】(1) A（﹣2，0），B（8，0）;(2) y＝﹣x+4;(3)見解析;(4) E的坐標(biāo)為（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．

【解析】

（1）由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-x2+x+4），過點(diǎn)Q作QD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x+4），QD=-x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出S△QBC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（4）有四種情形，利用平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為-4，求出等F的坐標(biāo)即可解決問題；

解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x＝3，

∴﹣＝3，解得：a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4．

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+x+4＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝8，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）．

故答案為（﹣2，0），（8，0）．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0）．

將B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，

，解得：

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4．

故答案為y＝﹣x+4．

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+4），過點(diǎn)Q作QD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x+4），如圖所示．

∴QD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，

∴S△QBC＝QDOB＝×8（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)x＝4時(shí)，△QBC的面積最大，最大面積是16．

∵0＜x＜8，

∴存在點(diǎn)Q，使△QBC的面積最大，最大面積是16．

（4）滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．

如圖，

當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為4，
可得F1（F2）（6，4），E2（4，0），
F3（3-，-4），F4（3+，-4），可得E3（5-，0），E4（5+，0），
當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，可得E1（-8，0），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-8，0），（4，0），（5+，0），（5-，0）．