Question

25、在平面上有且只有4個點，這4個點中有一個獨特的性質：連接每兩點可得到6條線段，這6條線段有且只有兩種長度．我們把這四個點稱作準等距點．例如正方形ABCD的四個頂點（如圖1），有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其實滿足這樣性質的圖形有很多，如圖2中A、B、C、O四個點，滿足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如圖3中A、B、C、O四個點，滿足OA=OB=OC=BC，AB=AC．
（1）如圖4，若等腰梯形ABCD的四個頂點是準等距點，且AD∥BC．
①寫出相等的線段（不再添加字母）；
②求∠BCD的度數．
（2）請再畫出一個四邊形，使它的四個頂點為準等距點，并寫出相等的線段．

Answer 1

分析：（1）①結合等腰梯形的性質及題意所表述的含義可寫出符合題意的結論．②先證△ABC≌△DCB，得出∠DBC=∠ACB，根據題意可求得∠BDC=∠BCD=2∠ACB，設∠ACB=x°，利用內角和定理可得出答案．
（2）可選擇畫菱形．

解答：解：（1）①AB=DC=AD，AC=BD=BC，
②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠DBC=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，
設∠ACB=x°，則∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，
∴2x+2x+x=180，
解得x=36，
∴∠BCD=72°．
（2）所畫圖形如下：四邊形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD=BD，AC．

點評：本題考查等腰梯形的性質、三角形的內角和定理及全等三角形的判定，綜合性較強，解答此類題目要注意仔細理解題目的意思，根據題意進行解答．