Question

已知：方程x²-（2k+1）（x-2）-4=0
（1）求證：無論k取任何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根．
（2）若等腰△ABC的一邊a=4，另兩邊b、c恰是這個方程的兩根，試求△ABC的周長．

Answer 1

（1）證明：方程化為一般形式為：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
∵△=（2k+1）²-4（4k-2）=（2k-3）²，
而（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以無論k取任何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：x²-（2k+1）x+4k-2=0，有（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
當(dāng)a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，因為b、c恰是這個方程的兩根，則2=2k-1，解得k=，這不滿足三角形三邊的關(guān)系，舍去；
當(dāng)a=4為等腰△ABC的腰，因為b、c恰是這個方程的兩根，所以只能2k-1=4，解得k=，此時三角形的周長為2+4+4=10．
所以△ABC的周長為10．
分析：（1）先把方程化為一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要證明無論k取任何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根，即要證明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出兩根：x₁=2，x₂=2k-1．先分類討論：若a=4為底邊；若a=4為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了分類討論的思想方法的運用、等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系．