如圖,已知直線與x軸交于點A,與y軸交于點B,將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD.
(1)點C的坐標是 ,線段AD的長等于 ;
(2)點M在CD上,且CM=OM,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點G,M,求拋物線的解析式;
(3)如果點E在y軸上,且位于點C的下方,點F在直線AC上,那么在(2)中的拋物線上是否存在點P,使得以C,E,F(xiàn),P為頂點的四邊形是菱形?若存在,請求出該菱形的周長l;若不存在,請說明理由.
解:(1)(0,3);4。
(2)
(3)拋物線上存在點P,使得以C,E,F(xiàn),P為頂點的四邊形是菱形。
【解析】
試題分析:(1)首先求出圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B的坐標,進而得出C點坐標以及線段AD的長:
∵與x軸交于點A,與y軸交于點B,
∴y=0時,x=﹣3,x=0時,y=1。
∴A點坐標為:(﹣3,0),B點坐標為:(0,1)。
∴OC=3,DO=1。
∴點C的坐標是(0,3),線段AD的長等于4。
(2)首先得出點M是CD的中點,即可得出M點坐標,進而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。
∵CM=OM,∴∠OCM=∠COM。
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°,∴∠ODM=∠MOD!郞M=MD=CM。
∴點M是CD的中點,∴點M的坐標為(,)。
∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點C,M,
∴,解得:。
∴拋物線y=x2+bx+c的解析式為:。
(3)分別根據(jù)當點F在點C的左邊時以及當點F在點C的右邊時,分析四邊形CFPE為菱形得出即可。
情形1:如圖1,當點F在點C的左邊時,四邊形CFEP為菱形,
∴∠FCE=PCE。
由題意可知,OA=OC,∴∠ACO=∠PCE=45°。
∴∠FCP=90°!嗔庑蜟FEP為正方形。
過點P作PH⊥CE,垂足為H,
則Rt△CHP為等腰直角三角形。
∴CP=CH=PH。
設點P為(x,),則OH=,PH=x,
∵PH=CH=OC﹣OH,∴,解得:x1=, x2=0(舍去)。
∴CP=CH=。
∴菱形CFEP的周長l為:。
情形2:如圖2,當點F在點C的右邊時,四邊形CFPE為菱形,
∴CF=PF,CE∥FP。
∵直線AC過點A(﹣3,0),點C(0,3),
∴直線AC的解析式為:y=x+3。
過點C作CM⊥PF,垂足為M,
則Rt△CMF為等腰直角三角形,CM=FM。
延長PF交x軸于點N,則PN⊥x軸,
∴PF=FN﹣PN。
設點P為(x,),則點F為(x,x+3),
∴。
∴,解得: ,x2=0(舍去)。
∴。
∴菱形CFEP的周長l為:)。
綜上所述,這樣的菱形存在,它的周長為或。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:初中數(shù)學 來源:2015屆浙江溫州地區(qū)八年級上學期期末模擬數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,已知直線與x軸、y軸分別交于點A、B,線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.
(1)求△AOB的面積;
(2)求點C坐標;
(3)點P是x軸上的一個動點,設P(x,0)
①請用x的代數(shù)式表示PB2、PC2;
②是否存在這樣的點P,使得|PC-PB|的值最大?如果不存在,請說明理由;
如果存在,請求出點P的坐標.
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