Question

如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD．

（1）點C的坐標是　    　，線段AD的長等于　    　；

（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點G，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（0，3）；4。

（2）

（3）拋物線上存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形。

【解析】

試題分析：（1）首先求出圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B的坐標，進而得出C點坐標以及線段AD的長：

∵與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴y=0時，x=﹣3，x=0時，y=1。

∴A點坐標為：（﹣3，0），B點坐標為：（0，1）。

∴OC=3，DO=1。

∴點C的坐標是（0，3），線段AD的長等于4。

（2）首先得出點M是CD的中點，即可得出M點坐標，進而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。

∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM。

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD�！郞M=MD=CM。

∴點M是CD的中點，∴點M的坐標為（，）。

∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點C，M，

∴，解得：。

∴拋物線y=x²+bx+c的解析式為：。

（3）分別根據(jù)當點F在點C的左邊時以及當點F在點C的右邊時，分析四邊形CFPE為菱形得出即可。

情形1：如圖1，當點F在點C的左邊時，四邊形CFEP為菱形，

∴∠FCE=PCE。

由題意可知，OA=OC，∴∠ACO=∠PCE=45°。

∴∠FCP=90°�！嗔庑蜟FEP為正方形。

過點P作PH⊥CE，垂足為H，

則Rt△CHP為等腰直角三角形。

∴CP=CH=PH。

設點P為（x，），則OH=，PH=x，

∵PH=CH=OC﹣OH，∴，解得：x₁=， x₂=0（舍去）。

∴CP=CH=。

∴菱形CFEP的周長l為：。

情形2：如圖2，當點F在點C的右邊時，四邊形CFPE為菱形，

∴CF=PF，CE∥FP。

∵直線AC過點A（﹣3，0），點C（0，3），

∴直線AC的解析式為：y=x+3。

過點C作CM⊥PF，垂足為M，

則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM。

延長PF交x軸于點N，則PN⊥x軸，

∴PF=FN﹣PN。

設點P為（x，），則點F為（x，x+3），

∴。

∴，解得： ，x₂=0（舍去）。

∴。

∴菱形CFEP的周長l為：）。

綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長為或。