如圖，已知直線數(shù)學(xué)公式與x軸交于點A，與y軸交于點B，C是線段AB的中點．拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）過O、A兩點，且其頂點的縱坐標(biāo)為數(shù)學(xué)公式．

（1）分別寫出A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得以O(shè)、P、B、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解：（1）∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，
-x+8=0，x=6；
y=0+8，y=8；
（6+0）÷2=3，（0+8）÷2=4．
∴A（6，0）、B（0，8）、C（3，4）；

（2）依題意有
解得
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=；

（3）存在點P，使以O(shè)、P、B、C為頂點的四邊形是菱形，
∵∠AOB=90°，A（6，0）、B（0，8），
∴，
∵C是AB的中點，
∴OC==5，
∵OB=8，
∴OB＞OC，且OB＞BC，
∴當(dāng)以O(shè)、P、B、C為頂點的四邊形是菱形時，OB是該菱形的對角線，
連接PC，則OB是PC的垂直平分線，
∴點P與點C關(guān)于直線OB對稱，即P與C關(guān)于y軸對稱，
∵C（3，4），
∴P（-3，4），
把點P（-3，4）代入拋物線方程y=得：
當(dāng)x=-3時，y=，
∴點P（-3，4）在拋物線上．
故在拋物線上存在點P，使以O(shè)、P、B、C為頂點的四邊形是菱形，點P的坐標(biāo)是（-3，4）．
分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，可確定A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出C點的坐標(biāo)；
（2）欲求過O、A二點且其頂點的縱坐標(biāo)為的拋物線解析式，利用待定系數(shù)法來求得該拋物線的解析式．
（3）首先假設(shè)成立，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解，求得點P坐標(biāo)為（-3，4）．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、菱形的性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．
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相關(guān)習(xí)題

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如圖，已知直線數(shù)學(xué)公式與x軸，y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸交于點C，且AB=BC．
（1）求出點A、B、C的坐標(biāo)．
（2）求△ABC的面積．
（3）試確定直線BC的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知直線數(shù)學(xué)公式與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在反比例函數(shù)數(shù)學(xué)公式上，△ABC是等腰直角三角形，且∠CBA=90°．
（1）求k的值；
（2）把等腰Rt△ABC沿AC翻折，點B落在點D處，點D在反比例函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象上嗎？請計算說明．

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如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于點A、B，線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.

（1）求△AOB的面積；

（2）求點C坐標(biāo)；

（3）點P是x軸上的一個動點，設(shè)P（x,0）

①請用x的代數(shù)式表示PB2、PC2；

②是否存在這樣的點P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，請說明理由；

如果存在，請求出點P的坐標(biāo).

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試（湖北咸寧卷）數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．

（1）點C的坐標(biāo)是　    　，線段AD的長等于　    　；

（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點G，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

 

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