Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）.B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，直線y＝kx+t經(jīng)過(guò)B.C兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E．

（1）求直線和拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，使線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若使O.C.D.E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的所有點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）D（2，﹣1）；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）時(shí)，都可以使O.C.D.E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，m2-m+2），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-m+2），由DE=（-m+2）-（m2-m+2）=-m2+2m=-（m-2）2+2可得答案；

（3）分點(diǎn)D在DE上方和下方兩種情況，用m的代數(shù)式表示出DE的長(zhǎng)度，依據(jù)DE=2得出關(guān)于m的方程，解之可得．

（1）把點(diǎn)B（4，0），C（0，2）代入直線y＝kx+t，

得：，解得，

∴y＝﹣x+2；

把點(diǎn)A（1，0）.B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c，

得：，解得，

∴y＝x2﹣x+2；

（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，m2﹣m+2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣m+2），

∴DE＝（﹣m+2）﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，DE的長(zhǎng)最大，為2，

當(dāng)m＝2時(shí)，m2﹣m+2＝﹣1，

∴D（2，﹣1）；

（3）①當(dāng)D在E下方時(shí)，如（2）中，DE＝﹣m2+2m，OC＝2，OC∥DE，

∴當(dāng)DE＝OC時(shí)，四邊形OCED為平行四邊形，

則﹣m2+2m＝2，解得m＝2，此時(shí)D（2，﹣1）；

②當(dāng)D在E上方時(shí)，DE＝（m2﹣m+2）﹣（﹣m+2）＝m2﹣2m，

令m2﹣2m＝2，解得m＝2，

∴此時(shí)D（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+），

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）時(shí)，都可以使O.C.D.E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．