Question

如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．

(1)求證：EB＝GD；

(2)判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若AB＝2，AG＝，求EB的長．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°＋∠EAD，∠EAB＝90°＋∠EAD，得到∠GAD＝∠EAB從而GAD≌△EAB，即EB＝GD； 　　(2)EB⊥GD，由(1)得∠ADG＝∠ABE則在△BDH中，∠DHB＝90°所以EB⊥GD； 　　(3)設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，由AB＝AD＝2在Rt△ABD中求得DB，所以得到結(jié)果． 　　解答：(1)證明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°＋∠EAD，∠EAB＝90°＋∠EAD， 　　∴∠GAD＝∠EAB， 　　又∵AG＝AE，AB＝AD， 　　∴△GAD≌△EAB， 　　∴EB＝GD； 　　(2)EB⊥GD，理由如下：連接BD， 　　由(1)得：∠ADG＝∠ABE，則在△BDH中， 　　∠DHB＝180°－(∠HDB＋∠HBD)＝180°－90°＝90°， 　　∴EB⊥GD； 　　(3)設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O， 　　∵AB＝AD＝2在Rt△ABD中，DB＝， 　　∴EB＝GD＝． 　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長．

提示：

正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．