Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，E是BC延長線上的一點，且AC=EC．
（1）求證：AE平分∠CAD；
（2）設AE交CD于點F，正方形ABCD的邊長為1，求DF的長．（結果保留根號）

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠BCA=∠DAC=45°，
又∵AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠E=∠DAF，
∴∠DAF=∠CAF，
∴AE平分∠CAD；

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠D=∠DCE=90°，
∴AC==，
∴CE=AC=，
又∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴=，
∴=，
解得：DF=-1．
分析：（1）根據正方形的性質得出AD∥BC，TUIC∠DAE=∠E，根據等腰三角形性質得出∠E=∠CAE，推出∠DAF=∠CAF即可；
（2）求出AC，根據平相似三角形的判定推出△AFD∽△EFC，得出比例式，即可求出DF．
點評：本題考查了正方形性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理等知識點，解（1）的關鍵是求出∠E=∠DAF=∠CAF，解（2）的關鍵是得出關于DF的方程，題目比較典型，是一道比較好的題目．