Question

已知拋物線y=-x²+4x-3交x軸于A，B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于C點．
（1）求直線BC的解析式；
（2）已知點M在線段BC上運動（不與點B，C重合），將OM繞點O逆時針轉(zhuǎn)90°到OM′的位置，當(dāng)點M′落在拋物線上時，求點M的坐標(biāo)；
（3）將拋物線向左平移3個單位，得到拋物線y₀，已知點P（2a，y₁）、M（4a，y₂）、N（7a，y₃）都在拋物線y₀上，是否存在含有y₁，y₂，y₃，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)x=0時，求出y的值就可以求出C的坐標(biāo)，當(dāng)y=0時求出x得值，求出B的坐標(biāo)，設(shè)BC的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法求出結(jié)論即可；
（2）過點M作ME⊥y軸于E，M′F⊥x軸于F，就可以得出△EOM≌△FOM′，設(shè)出M、M′的坐標(biāo)，表示出ME與′F的值，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)建立方程求出其值即可；
（3）根據(jù)解析式求出平移后的解析式，分別表示出有y₁，y₂，y₃的值，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=-3，
∴C（0，-3）．
當(dāng)y=0時，-x²+4x-3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
∵點A在點B的左邊，
∴A（1，0），B（3，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由題意，得

-3=b 0=3k+b

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為：y=x-3；
（2）過點M作ME⊥y軸于E，M′F⊥x軸于F，
∴∠OEM=∠OFM′=90°．
∵∠MOE+∠MOB=90°，∠M′OF+∠MOB=90°，
∴∠MOE=∠M′OF．
在△EOM和△FOM′中，

∠MOE=∠M′OF ∠OEM=∠OFM′ OM=OM′

，
∴△EOM≌△FOM′（AAS），
∴OE=OF，ME=M′F．
設(shè)M（m，m-3），
∴OE=3-m，ME=m，
∴OF=3-m，
∴M′（3-m，-m²+2m），
∴M′F=-m²+2m．
∴m=-m²+2m，
解得：m₁=0舍去，m₂=1，
∴M（1，-2）．
答：M（1，-2）；
（3）∵y=-x²+4x-3，
∴y=-（x-2）²+1，
∴拋物線向左平移3個單位為：y₀=-（x+1）²+1，
∴y₀=-x²-2x．
∵P（2a，y₁）、M（4a，y₂）、N（7a，y₃）都在拋物線y₀上，
∴y₁=-4a²-4a，y₂=-16a²-8a，y₃=-49a²-14a．
∴-42y₁=168a²+168a，35y₂=-560a²-280a，8y₃=-392a²-112a．
∴-42y₁+35y₂=168a²+168a-560a²-280a=-392a²-112a．
∴8y₃=-42y₁+35y₂．

點評：本題考查了二次函數(shù)的解析式的運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時由二次函數(shù)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．