Question

函數(shù)y=

4

x

和y=

1

x

在第一象限內的圖象如圖所示，點P是y=

4

x

圖象上的一動點，PC⊥x軸于點C，交y=

1

x

的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=

1

x

的圖象于點B．給出如下結論：①PA與PB始終相等；②四邊形OAPB的面積為3；③PA=3AC；④AB∥CD．其中正確的結論是

②③④

．（把你認為正確的結論的序號都填上）

Answer 1

分析：首先連接OP，由反比例函數(shù)的幾何意義，即可求得各三角形的面積以及四邊形OAPB、矩形OCPD的面積，然后由三角形的面積求得PA=3AC，PB=3BD，繼而證得AB∥CD．

解答：解：連接OP，
①根據(jù)題意得：S_△OBD=S_△OAC=

1

2

，S_△OPD=S_△OPC=

4

2

=2，
∴S_△OBP=S_△OAP=2-

1

2

=

3

2

，
∴

1

2

PB•OD=

1

2

PA•OC=

3

2

，
∴當OD=OC，即點P的橫縱坐標相等時，PA與PB始終相等；
故①錯誤；
②S_{四邊形OAPB}=S_矩形OCPD-S_△OBD-S_△OAC=4-

1

2

-

1

2

=3；
故②正確；
③∵S_△OPA：S_△OAC=

3

2

：

1

2

=3：1，
∴（

1

2

PA•OC）：（

1

2

AC•OC）=3：1，
∴PA：AC=3，
∴PA=3AC；
故③正確；
④同理：PB：BD=3，
∴PA：AC=PB：BD，
∴AB∥CD．
故④正確．
故答案為：②③④．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的幾何意義、三角形的面積以及四邊形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．