Question

OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=6．
（1）如圖1，在OA上選取一點G，將△COG沿CG翻折，使點O落在BC邊上，記為E，求折痕y₁所在直線的解析式；
（2）如圖2，在OC上選取一點D，將△AOD沿AD翻折，使點O落在BC邊上，記為E'．
①求折痕AD所在直線的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于點F．若拋物線y=-x²+h過點F，求此拋物線的解析式，并判斷它與直線AD的交點的個數(shù)．
（3）如圖3，一般地，在OC、OA上選取適當?shù)狞cD'、G'，使紙片沿D'G'翻折后，點O落在BC邊上，記為E''．請你猜想：折痕D'G'所在直線與②中的拋物線會有什么關(guān)系？用（1）中的情形驗證你的猜想．

Answer 1

解：（1）由折疊法知，四邊形OCEG是正方形，
∴OG=OC=6，
∴G（6，0），C（0，6）．
設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b，
則0=6k+b，6=0+b，
∴k=-1，b=6，
∴直線CG的解析式為：y=-x+6．

（2）①在Rt△ABE'中，BE'==8，
∴CE′=2．
設(shè)OD=s，則DE'=s，CD=6-s，
在Rt△DCE'中，s²=（6-s）²+2²，
∴s=．
則D（0，）
設(shè)AD：y=k'x+，
由于它過A（10，0），
∴k'=-，
∴AD：y=-x+．
②∵E'F∥AB，E'（2，6），
∴設(shè)F（2，y_F），
∵F在AD上，
∴y_F=-×2+=，
∴F（2，）．
又∵點F在拋物線y=-x²+h上，
∴=-×4+h，
∴h=3．
∴拋物線的解析式為：y=-x²+3．
即-x²+x-=0，
∵△=（）²-4×（-）×（-）=0
∴直線AD與拋物線只有一個交點．

（3）例如可以猜想：
（ⅰ）折痕所在直線與拋物線y=-x²+3只有一個交點；
或（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，則F'在拋物線y=-x²+3上．
驗證：（ⅰ）在圖1中，折痕為CG，
將y=-x+6代入y=-x²+3，
得-x²+x-3=0．
∵△=1-4×（-3）×（-）=0，
∴折痕CG所在直線的確與拋物線y=-x²+3只有一個交點．
或（ⅱ）在圖1中，D'即C，E''即E，G'即G，交點F'也為G（6，0），
∴當x=6時，y=-x²+3=-×6²+3=0，
∴G點在這條拋物線上．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：四邊形OGEC是個正方形，因此OC=OG=6，據(jù)此可得出G點的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出直線CG的解析式．
（2）①本題的關(guān)鍵是求出D的坐標，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AE′=OA，那么可在直角三角形ABE′中求出BE′的長，進而可求出CE′的值．在直角三角形CDE′中，CD=6-OD，DE′=OD，根據(jù)勾股定理即可求出OD的長，也就得出了D點的坐標，然后可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式．
②①中已經(jīng)求得CE′的長，即F點的橫坐標，可根據(jù)直線AD的解析式求出F點的坐標，然后將F的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．進而可根據(jù)拋物線的解析式來判斷其與x軸交點的個數(shù)．
點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的交點、一元二次方程根的判別式等知識點．