Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3）

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（3）P為線段BC上一點(diǎn)，連接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求△PAB的面積．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，相思三角形的性質(zhì)，可得BP的長，再根據(jù)平行線截三角形所得的三角形相似，相似三角形的性質(zhì)，可得BD的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

【解答】解：（1）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，解得，

拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣3；

（2）當(dāng)y=0時，x²﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1（不符合題意，舍），x=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

，解得，

直線BC的解析式為y=x﹣3；

（3）如圖，

過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，

∴△ABP∽△CBA， =．

∵BO=OC=3，

∴BC=3．

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，∴ =，

解得BP=．

由題意可得：PD∥OC，

∴△BDP∽△BOC，∴ ==，

則==，

解得DP=BD=，

S_△APB=AB•PD=××4=．

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出PD的長是解題關(guān)鍵．