Question

如圖①，∠MON=90°，A為射線OM上一點(diǎn)，以A為圓心，r為半徑作⊙A交OM于B、C兩點(diǎn)，且OB=2

2

-2，0C=2

2

+2，
（1）求⊙A的半徑r的值．
（2）當(dāng)射線OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，（如圖②），判斷ON與⊙A的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）若射線OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖③位置時(shí)，ON與⊙A相較于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)DE=2

2

時(shí)，求∠MON的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)線段的和差，可得圓的直徑，根據(jù)直徑與半徑的關(guān)系，可得答案；
（2）根據(jù)線段的和差，可得OA的長，根據(jù)正弦函數(shù)，可得AD的長，根據(jù)圓的切線的判定，可得答案；
（3）根據(jù)垂徑定理，可得DF的長，根據(jù)勾股定理，可得AF的長，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可得答案．

解答：解：（1）由線段的和差，得BC=OC-OB=（2

2

+2）-（2

2

-2）=2

2

+2-2

2

+2=4，
由r=

1

2

d=

1

2

×4=2；
（2）ON是⊙A的切線，
證明：如圖2：作AD⊥ON與D點(diǎn)，
∵OB=2

2

-2，AB=2，
∴OA=OB+AB=2

2

-2+2=2

2

．
∵sin∠AOD=sin45°=

2

2

=

AD

AO

，
∴

2

2

=

AD

2 2

，AD=2，
∵AD=2=r，AD⊥ON
∴ON是⊙A的切線；
（3）如圖3：作AF⊥DE與F點(diǎn)，連接AD，，
由垂徑定理，得DF=

1

2

DE=

2

．
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF=

AD2-DF2

=

22-( 2 )2

=

2

．
在Rt△OAF中，由正弦函數(shù)，得
sin∠O=

AF

AO

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠MON=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題，利用了切線的判定定理，圓的垂徑定理，銳角三角函數(shù)．