Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線y=-x+6交y軸于點A，交x軸于點B，點C，B關(guān)于原點對稱，點P在射線AB上運動，連接CP與y軸交于點D，連接BD，過P，D，B三點作⊙Q與y軸的另一個交點E，延長DQ交⊙Q于點F，連接EF，BF．
（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P在線段AB（不包括A，B兩點）上時，求證：DE=EF；
（3）請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由直線y=-x+6交y軸于點A，交x軸于點B，當(dāng)x=0時，y=6，當(dāng)y=0時，x=6，即可得A，B的坐標(biāo)，再由點C，B關(guān)于原點對稱，即可求出點C的坐標(biāo)，
（2）先證出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根據(jù)∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，再連結(jié)PE，根據(jù)∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，最后根據(jù)∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，從而求出DE=EF，
（3）BD：BF=2：1時，過點F作FH⊥OB于點H，證出△BOD∽△FHB=2，再根據(jù)∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根據(jù)DE=EF，求出OD的長，從而得出直線CD的解析式，最后根求出點P的坐標(biāo)即可；連結(jié)EB，先證出△DEF是等腰直角三角形，過點F作FG⊥OB于點G，同理可得△BOD∽△FGB，得出FG，ODBG，再證出四邊形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直線CD的解析式，最后根即可求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=-x+6交y軸于點A，交x軸于點B，
∴當(dāng)x=0時，y=6，
當(dāng)y=0時，x=6，
∴A（0，6），B（6，0）
∵點C，B關(guān)于原點對稱，
∴C（-6，0），
（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BDO≌△CDO，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
如圖1，連結(jié)PE，

∵∠ADP是△DPE的一個外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一個外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=6，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直徑，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF，
（3）當(dāng)BD：BF=2：1時，
①如圖2，過點F作FH⊥OB于點H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴

OB

HF

=

OD

HB

=

BD

FB

=2，
∴FH=3，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFH是矩形，
∴OE=FH=3，
∴EF=OH=6-

1

2

OD，
∵DE=EF，
∴3+OD=6-

1

2

OD，
解得：OD=2，
∴點D的坐標(biāo)為（0，2），
∴直線CD的解析式為y=

1

3

x+2，
由

y= 1 3 x+2 y=-x+6

，解得

x=3 y=3

，
則點P的坐標(biāo)為（3，3）；
當(dāng)

BD

BF

=

1

2

時，
②如圖3，連結(jié)EB，同（2）可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEB=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，過點F作FG⊥OB于點G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴

OB

GF

=

OD

GB

=

BD

FB

=

1

2

，
∴FG=12，OD=

1

2

BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFG是矩形，
∴OE=FG=12
∴EF=OG=6+2OD，
∵DE=EF，
∴12-OD=6+2OD，
OD=2
∴點D的坐標(biāo)為（0，-2）
直線CD的解析式為：y=-

1

3

x-2，
由

y=- 1 3 x-2 y=-x+6

得

x=12 y=-6

∴點P的坐標(biāo)為（12，-6），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（3，3）或（12，-6）．

點評：此題主要考查了圓的綜合，用到的知識點是一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運用有關(guān)知識作出輔助線，列出方程組．