Question

如圖，已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h，請(qǐng)?zhí)骄繄D中的h₁、h₂、h₃、h的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：把點(diǎn)P與各頂點(diǎn)分別連接起來．根據(jù)組合圖形的面積與分割成的圖形面積之間的關(guān)系建立關(guān)系式，然后根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求解；分三種情況討論；

解答：解：
當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，如圖（1），
連接AP，則 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂
又∵△ABC是等邊三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．

當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，如圖（2），
連接AP、BP、CP，則 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF+

1

2

BC•PE
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂+

1

2

BC•h₃
又∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．

當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，如圖（3）．
連接PB，PC，PA
由三角形的面積公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE-

1

2

BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．

點(diǎn)評(píng)：此題考查等邊三角形的性質(zhì)，運(yùn)用等積法建立關(guān)系構(gòu)思巧妙，也是此題的難點(diǎn)．