Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠ADC=60°，等邊三角形△AEF兩邊分別交邊DC，CB于點E，F(xiàn)．
（1）求證：△ADE≌△ACF；
（2）如圖2所示，若點E，F(xiàn)始終分別在邊DC，CB上移動，記等邊△AEF面積為S，則S是否存在最小值？若存在，值為多少；若不存在，請說明理由；
（3）若S存在最小值，對角線AC上是否存在點P，使△PDE的周長最��？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷△ADC為等邊三角形，則AD=AC，再根據(jù)邊三角形的性質(zhì)得∠EAF=60°，AE=AF，易得∠DAE=∠CAF，然后根據(jù)“SAS”可證明△ADE≌△ACF；
（2）設(shè)DE=x，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DH=

1

2

x，EH=

3

2

x，則AH=AD-DH=2-

1

2

x，再在Rt△AEH中根據(jù)勾股定理計算出AE²=x²-2x+4，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式得到S=

3

4

（x²-2x+4），再利用配方得到S=

3

4

（x-1）²+

3 3

4

，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)x=1時，S有最小值

3 3

4

；
（3）如圖③，作EQ⊥BC于Q，連接BE交AC于P，連接PD，由菱形的性質(zhì)得AC垂直平分BD，則PD=PB，所以PE+PD=PE+PB=BE，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時△PDE的周長最小，在Rt△CQE中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CQ=

1

2

，QE=

3

2

，然后在Rt△BEQ中，根據(jù)勾股定理可計算出BE=

7

，于是得到此時△PDE的周長為1+

7

，即△PDE的周長最小值為1+

7

．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴DC=DA，
∵∠ADC=60°，
∴△ADC為等邊三角形，
∴AD=AC，
∵△AEF為等邊三角形，
∴∠EAF=60°，AE=AF，
∵∠DAE+∠EAC=60°，∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠DAE=∠CAF，
在△ADE和△ACF中，

AD=AC ∠DAE=∠CAF AE=AF

，
∴△ADE≌△ACF（ASA）；
（2）解：存在．
設(shè)DE=x，
在Rt△DEH中，∵∠D=60°，
∴∠DHE=30°，
∴DH=

1

2

x，EH=

3

2

x，
∴AH=AD-DH=2-

1

2

x，
在Rt△AEH中，AE²=AH²+EH²=（2-

1

2

x）²+（

3

2

x）²=x²-2x+4，
∴S=

3

4

AE²=

3

4

（x²-2x+4）=

3

4

（x-1）²+

3 3

4

，
∴當(dāng)x=1時，S有最小值，最小值為

3 3

4

；
（3）如圖，作EQ⊥BC于Q，連接BE交AC于P，連接PD，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PD=PB，
∴PE+PD=PE+PB=BE，
∴此時△PDE的周長最小，
∵DE=1，
∴EC=1，
∵∠BCE=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△CQE中，CQ=

1

2

CE=

1

2

，QE=

3

CQ=

3

2

，
∴BQ=BC+CQ=2+

1

2

=

5

2

，
在Rt△BEQ中，BE=

QE2+BQ2

=

7

，
∴此時△PDE的周長=DE+PE+PD=DE+BE=1+

7

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)；會運用配方法解決代數(shù)式的最值問題；利用對稱解決最小距離之和的問題；會應(yīng)用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理進(jìn)行幾何計算．