Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象相交于點A（1、4），B（2、n）
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；
（2）根據(jù)圖象回答，當x為何值時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值；
（3）求△AOB的面積；
（4）在第一象限內(nèi)，雙曲線上是否存在一點C，使得△AOC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A（1、4），B（2、n）分別代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b與反比例函數(shù)y=

m

x

的解析式，求出k，b，m即可．
（2）觀察圖象，可直接得出答案．
（3）作AE⊥x軸，BF⊥x軸垂足分別為E、F，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，可得：S_△AOB=S_{四邊形AEFB}即可求解；
（4）設C（a，

4

a

），即可表示出△AOC的三邊的長，根據(jù)勾股定理的逆定理，分情況討論，判斷m的值，從而確定C的坐標．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象經(jīng)過點A（1，4），B（2，n），
∴4=

m

1

，
解得m=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

．
∴n=

m

2

，
∴n=2．
∴B點的坐標為（2，2）．
∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A（1，4），B（2，2），
∴4=k+b，2=2k+b，
解得k=-2，b=6．
∴y=-2x+6；

（2）（2分）根據(jù)圖象可知，當1＜x＜2時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值．

（3）（4分）作AE⊥x軸，BF⊥x軸垂足分別為E、F．
則S_△AOB=S_{四邊形AEFB}=

1

2

（BF+AE）•EF
=

1

2

（2+4）×（2-1）
=3；

（4）（4分）在第一象限內(nèi)存在點C，使得△AOC是直角三角形．
理由：設C（a，

4

a

）．
∵OA²=1²+4²=17，OC2=a2+(

4

a

)2=a2+

16

a2

，AC2=(4-

4

a

)2+(a-1)2=17+

16

a2

-

32

a

+a2-2a，
（i）顯然∠AOC≠90°；
（ii）當∠OAC=90°時，則OA²+AC²=OC²，
∴17+（17+

16

a2

-

32

a

+a2-2a)=a2+

16

a2

=a2+

16

a2

，
，整理，得34-

32

a

-2a=0，
∴a²-17a+16=0，
（a-16）（a-1）=0，
∴a₁=16，a₂=1．
當a=1時，不合題意，舍去．
∴a=16，則

4

a

=

4

16

=

1

4

．
∴C（16，

1

4

）；
（iii）當∠ACO=90°時，則AC²+OC²=OA²
∴（17-

32

a

+

16

a2

-2a+a2)+(

16

a2

+a2)=17+a2+

16

a2

=17，
整理得

32

a2

-

32

a

+2a²-2a=0，
32-32a+2a⁴-2a³=0，
32（1-a）-2a³（1-a）=0，
（1-a）（32-2a³）=0，
∴a₁=1，a2 =

3	16

=2

3	2

，
當a=1時，不合題意舍去．
∴a=2

3	2

，
∴

4

a

=

4

2 3 2

=

3	4

（沒有化簡，不扣分）
∴C（2

3	2

，

3	4

）．
綜合（i）（ii）（iii）可知當C點的坐標為（16，

1

4

）或（2

3	2

，

3	4

）時，△AOC是直角三角形．

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，以及勾股定理的逆定理，注意分情況討論是關鍵．