Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1分別與兩坐標(biāo)軸交于B，A兩點(diǎn)，C為該直線上的一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A開(kāi)始沿直線BA向上移動(dòng)，作等邊△CDE，點(diǎn)D和點(diǎn)E都在x軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=a（x﹣m）²+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)E．⊙M與x軸、直線AB都相切，其半徑為3（1﹣）a．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠ABO的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，求a的值；

（3）點(diǎn)C移動(dòng)多少秒時(shí)，等邊△CDE的邊CE第一次與⊙M相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）A的坐標(biāo)是（0，1）∠ABO=30°（2）﹣3（3）4秒

【解析】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣，

 ∴OA=1，OB=�！郃的坐標(biāo)是（0，1）。

∴tan∠ABO=�！唷螦BO=30°。

（2）∵△CDE為等邊三角形，點(diǎn)A（0，1），∴tan30°=，∴OD=。

∴D的坐標(biāo)是（﹣，0），E的坐標(biāo)是（，0），

把點(diǎn)A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入 y=a（x﹣m）²+n，得

，解得�！郺=﹣3。

（3）如圖，設(shè)切點(diǎn)分別是Q，N，P，連接MQ，MN，MP，ME，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，H為垂足，過(guò)A作AF⊥CH，F(xiàn)為垂足。

 

 

∵△CDE是等邊三角形，∠ABO=30°，

∴∠BCE=90°，∠ECN=90°。

∵CE，AB分別與⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°�！嗨倪呅蜯PCN為矩形。

∵M(jìn)P=MN，∴四邊形MPCN為正方形。

∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）。

∵EC和x軸都與⊙M相切，∴EP=EQ。

∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°�！唷螮MQ，=30°。

∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（﹣3）a。

∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2a。

∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a。

∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣。

∴E（﹣4a﹣，0），C（﹣3a﹣，﹣3a）。

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+3a+）²﹣3a，

∵E在該拋物線上，∴a（﹣4a﹣+3a+）²﹣3a=0，

得：a²=1，解之得a₁=1，a₂=﹣1。

∵a＜0，∴a=﹣1。

∴AF=2，CF=2，∴AC=4。

∴點(diǎn)C移動(dòng)到4秒時(shí)，等邊△CDE的邊CE第一次與⊙M相切。

（1）已知直線AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A點(diǎn)坐標(biāo)；令y=0，能得到B點(diǎn)坐標(biāo)；在Rt△OAB中，知道OA、OB的長(zhǎng)，用正切函數(shù)即可得到∠ABO的值。

 （2）當(dāng)C、A重合時(shí)，可知點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后結(jié)合OC的長(zhǎng)以及等邊三角形的特性求出OD、OE的長(zhǎng)，即可得到D、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可確定a的值。

（3）作出第一次相切時(shí)的示意圖，已知的條件只有圓的半徑，那么連接圓心與三個(gè)切點(diǎn)以及點(diǎn)E，首先能判斷出四邊形CPMN是正方形，那么CP與⊙M的半徑相等，只要再求出PE就能進(jìn)一步求得C點(diǎn)坐標(biāo)；那么可以從PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得這兩個(gè)角的度數(shù)，通過(guò)解直角三角形不難得到PE的長(zhǎng)，即可求出PE及點(diǎn)C、E的坐標(biāo)．然后利用C、E的坐標(biāo)確定a的值，從而可求出AC的長(zhǎng)，由此得解