Question

（2012•朝陽(yáng)區(qū)二模）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且∠EPB=60°，沿PE翻折△EBP得到△EB′P．F是CD邊上一點(diǎn)，沿PF翻折△FCP得到△FC′P，使點(diǎn)C′落在射線PB′上．
（1）如圖，當(dāng)BP=1時(shí)，四邊形EB′FC′的面積為

2

3

；
（2）若BP=m，則四邊形EB′FC′的面積為

-

2 3

3

m²+

8 3

3

（0＜m＜2）

2 3

3

m²-

8 3

3

（2＜m≤

4 3

3

）

（要求：用含m的代數(shù)式表示，并寫出m的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BP=1，∠EPB=60°，可得出BE=B'E=

3

，CP=C'P=4-1=3，也可得出C'F，繼而根據(jù)S_{四邊形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F可得出答案．
（2）將BP的長(zhǎng)度換為m，按照（1）的思路分別求出各線段的長(zhǎng)度，然后求面積即可．

解答：解：（1）∵BP=1，∠EPB=60°，
∴BE=B'E=

3

，C'P=CP=BC-BP=3，∠C'PF=∠CPF=30°，
∴C'F=CF=CP×tan∠CPF=

3

，C'B'=C'P-B'P=3-1=2，
故S_{四邊形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F=

1

2

B'E×B'C'+

1

2

C'F×B'C'=

3

+

3

=2

3

；
（2））①∵BP=m，∠EPB=60°，
∴BE=B'E=

3

m，C'P=CP=BC-BP=4-m，∠C'PF=∠CPF=30°，
∴C'F=CF=CP×tan∠CPF=

3

3

（4-m），C'B'=C'P-B'P=4-m-m=4-2m，
故S_{四邊形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F=

1

2

B'E×B'C'+

1

2

C'F×B'C'
=

1

2

×

3

m×（4-2m）+

1

2

×

3

3

（4-m）×（4-2m）
=-

3

m²+2

3

m+

3

3

m²-2

3

m+

8 3

3

=-

2 3

3

m²+

8 3

3

（0＜m＜2）．
②當(dāng)2＜m≤

4 3

3

時(shí)，

EB'=EB=

3

m，B'C'=m-（4-m）=2m-4，F(xiàn)C'=

3

3

（4-m），
故S_{四邊形EB′FC′}=S_△EB'c'+S_△B'C'F=

1

2

B'E×B'C'+

1

2

C'F×B'C'
=

1

2

×

3

m×（2m-4）+

1

2

×（2m-4）×

3

3

（4-m）
=

3

m²-2

3

m+（m-2）×（

4 3

3

-

3

3

m）
=

3

m²-2

3

m+

4 3

3

m-

3

3

m²-

8 3

3

+

2 3

3

m
=

2 3

3

m²-

8 3

3

（2＜m≤

4 3

3

）．
故答案為：2

3

；-

2 3

3

m²+

8 3

3

（0＜m＜2），

2 3

3

m²-

8 3

3

（2＜m≤

4 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)及翻折變換的知識(shí)，利用解直角三角形的知識(shí)求出各線段的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵，另外要掌握翻折前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等．