Question

已知關(guān)于x的方程x²-kx+k²+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁．x₂，且（2x₁+x₂）-8（2x₁+x₂）+15=0．
（1）求證：n＜0；
（2）用k的代數(shù)式表示x₁．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式得到△=k²-4（k²+n）＞0，則n＜-

3

4

k²，由于-

3

4

k²，≤0，則可得到n＜0；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k，則x₂=k-x₁，代入（2x₁+x₂）-8（2x₁+x₂）+15=0后變形可得到x₁=

15-7k

7

．

解答：（1）證明∵關(guān)于x的方程x²-kx+k²+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=k²-4（k²+n）＞0，
∴n＜-

3

4

k²，
而

3

4

k²≥0，即-

3

4

k²，≤0，
∴n＜0；
（2）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=k，
∴x₂=k-x₁，
∵（2x₁+x₂）-8（2x₁+x₂）+15=0．
∴-7（2x₁+k-x₁）+15=0．
∴x₁=

15-7k

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．