Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α≤180°）得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于P、Q．在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，若BP=B′Q，則點P的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OB、OQ、OB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得OB=OB′，∠OBC=∠OB′C，然后利用“邊角邊”證明△OBP和△OB′Q全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OP=OQ，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得CP=CQ，然后根據(jù)BP=B′Q推出CP=C′P，利用“HL”證明△OCP、△OCQ、△OC′Q全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠COP=∠COQ=∠C′OQ，從而求出∠OCP=30°，最后利用∠COP的正切值求出CP的值，然后即可寫出點P的坐標(biāo)．
解答：解：如圖，連接OB、OQ、OB′，
∵四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到四邊形OA′B′C′，
∴OB=OB′，∠OBC=∠OB′C，
在△OBP和△OB′Q中，
∵，
∴△OBP≌△OB′Q（SAS），
∴OP=OQ，
∵直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），
∴BC⊥y軸，
∴CP=CQ，
∵BP=B′Q，B′C′=BC，
∴BC-BP=B′C′-B′Q，
即CP=C′Q，
∴CP=CQ=C′Q，
又∵OP=OQ（已證），
∴△OCP≌△OCQ≌△OC′Q（HL），
∴∠COP=∠COQ=∠C′OQ，
∴∠OCP=×90°=30°，
∵C（0，6），
∴OC=6，
PC=OC•tan∠COP=6×=2，
∴點P的坐標(biāo)為（-2，6）．
故答案為：（-2，6）．
點評：本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，主要利用了旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質(zhì)，然后通過證明三角形全等求出∠OCP=30°是解題的關(guān)鍵．