【題目】如圖,在邊長為 2 的正方形 ABCD 中,點 P 、Q 分別是邊 AB 、 BC 上的兩個動點(與點 A 、B 、C 不重合)且始終保持 BP BQ, AQ QE ,QE 交正方形外角平分線CE 于點 E , AE CD 于點 F ,連結(jié) PQ 。

1)求證: APQ QCE

2)求QAE 的度數(shù);

3)設(shè) BQ x ,當(dāng) x 為何值時, QF CE ,并求出此時AQF 的面積。

【答案】(1)見解析;(2)45°;(3) 2-2;4-4.

【解析】

1)判斷出△PBQ是等腰直角三角形,然后求出∠APQ=QCE=135°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠PAQ=CQE,再求出AP=CQ,然后利用“角邊角”證明即可;2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AQ=EQ,判斷出△AQE是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答; 3)把△ABQ繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,求出∠GAF=45°,從而得到∠GAF=QAF,再利用“邊角邊”證明△AQF和△AGF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得QF=GF,再根據(jù)兩直線平行,同位角相等求出∠CQF=45°,然求出CQ=CF,分別用x表示出CQCF、QF,利用勾股定理列式表示出QF,然后列出方程求出x,再求出△AGF的面積,即為△AQF的面積.

1)證明:在正方形ABCD,B=90°,AB=BC,BP=BQ,

∴△PBQ是等腰直角三角形,AP=CQ,

∴∠BPQ=45°,

CE為正方形外角的平分線,

∴∠APQ=QCE=135°,

AQQE,

∴∠CQE+AQB=90°,

又∵∠PAQ+AQB=90°,

∴∠PAQ=CQE,

在△APQ和△QCE,

,

∴△APQ≌△QCEASA;

2)解:∵△APQ≌△QCE,

AQ=EQ,

AQQE,

∴△AQE是等腰直角三角形,

∴∠QAE=45°;

3)解:如圖,把△ABQ繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,

AQ=AG,BQ=DG,BAQ==DAG,

∵∠QAE=45°,

∴∠GAF=45°,GAF=QAF,

在△AQF和△AGF,

,

∴△AQF≌△AGFSAS,

QF=GF,

QFCE,

∴∠CQF=45°,

∴△CQF是等腰直角三角形,

CQ=CF,

BQ=x,

CQ=CF=2-x,

DF=2-2-x=x,

QF=GF=2x,

RtCQF,CQ2+CF2=QF2, 即(2-x2+2-x2=2x2,

解得x=2-2,

∴△AGF的面積=×22-2×2=4-4, 即△AQF的面積為4-4

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】完成下面的證明過程:

如圖,ABCDADBC,BE平分∠ABCDF平分∠ADC

求證:BEDF

證明:∵ABCD,(已知)

∴∠ABC+∠C180°.(   

又∵ADBC,(已知)

   +∠C180°.(   

∴∠ABC=∠ADC.(   

BE平分∠ABC,(已知)

∴∠1ABC.(   

同理,∠2ADC

   =∠2

ADBC,(已知)

∴∠2=∠3.(   

∴∠1=∠3,

BEDF.(   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖 ,在平行四邊形 ABCD DAB 的平分線交CD 于點 E ,交 BC 的延長線于點G ,ABC的平分線交CD 于點 F ,交 AD 的延長線于點 H ,交 AG BH 成交于點O ,連接 BE 。下列結(jié)論錯誤的是(

A.BO OHB.DF CEC.DH CGD.AB AE

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【題目】如圖,矩形 ABCD 中,對角線 AC 的垂直平分線交 AD BC 于點 E 、F AC EF 交于點O ,連結(jié) AF 、CE 。

1)求證:四邊形 AFCE 是菱形;

2)若 AB 4, AD 8 ,求菱形 AFCE 的邊長。

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【題目】已知 a、b、c 在數(shù)軸上的位置如圖:

1)用“<”“>”填空:a1 0; cb 0; b1 0;

2)化簡:

3)若abc0,且b1的距離和c1的距離相等,求下列式子的值:2b c (a 4c b)

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【題目】為聲援揚(yáng)州“運河申遺”,某校舉辦了一次運河知識競賽,滿分10分,學(xué)生得分為整數(shù),成績達(dá)到6分以上(包括6分)為合格,達(dá)到9分以上(包含9分)為優(yōu)秀.這次競賽中甲乙兩組學(xué)生成績分布的條形統(tǒng)計圖如圖所示.

(1)補(bǔ)充完成下面的成績統(tǒng)計分析表:

組別

平均分

中位數(shù)

方差

合格率

優(yōu)秀率

甲組

6.7

3.41

90%

20%

乙組

7.5

1.69

80%

10%

(2)小明同學(xué)說:“這次競賽我得了7分,在我們小組中排名屬中游略偏上!”觀察上表可知,小明是 組的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)

(3)甲組同學(xué)說他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們組的成績好于乙組.但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的說法,認(rèn)為他們組的成績要好于甲組.請你給出兩條支持乙組同學(xué)觀點的理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我市晶泰星公司安排名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每人每天生產(chǎn)件甲產(chǎn)品或件乙產(chǎn)品.根據(jù)市場行情測得,甲產(chǎn)品每件可獲利元,乙產(chǎn)品每件可獲利.而實際生產(chǎn)中,生產(chǎn)乙產(chǎn)品需要數(shù)外支出一定的費用,經(jīng)過核算,每生產(chǎn)件乙產(chǎn)品,當(dāng)天每件乙產(chǎn)品平均荻利減少元,設(shè)每天安排人生產(chǎn)乙產(chǎn)品.

(1)根據(jù)信息填表:

產(chǎn)品種類

每天工人數(shù)()

每天產(chǎn)量()

每件產(chǎn)品可獲利潤()

(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多元,試問:該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品可獲得總利潤是多少元?

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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ABC=135°,CD=6,AB=2,則四邊形ABCD的面積為___________

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