Question

如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點(diǎn)D，證明：AD²=BD•CD．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接OA、OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAP=90°，由AD⊥OP得到∠ADP=∠ADO=90°，再根據(jù)相似三角形的判定易得Rt△PAD∽R(shí)t△POA，則PA²=PD•PO，同理可得Rt△OAD∽R(shí)t△OPA，則OA²=OD•OP；Rt△PAD∽R(shí)t△AOD，則AD²=PD•DO，由于OA²=OD•OP，OC=OA，得到OC²=OD•OP，加上∠POC=∠COD，
則根據(jù)相似三角形的判定方法得到△POC∽△COD；然后根據(jù)切割線定理得PA²=PB•PC，則PB•PC=PD•PO，加上∠BPD=∠OPC，于是可判斷△PBD∽△POC，
所以△PBD∽△COD，利用相似比得到PD•OD=BD•CD，由此得到AD²=BD•CD．

解答：證明：連接OA、OC，如圖，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵AD⊥OP，
∴∠ADP=∠ADO=90°，
∵∠APO=∠DPA，
∴Rt△PAD∽R(shí)t△POA，
∴PA：PO=PD：PA，即PA²=PD•PO，
同理可得Rt△OAD∽R(shí)t△OPA，則OA²=OD•OP，
Rt△PAD∽R(shí)t△AOD，則AD²=PD•DO，
∵OA²=OD•OP，OC=OA，
∴OC²=OD•OP，即OC：OD=OP：OC，
而∠POC=∠COD，
∴△POC∽△COD；
∵PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∴PB•PC=PD•PO，即PB：PO=PD：PC，
而∠BPD=∠OPC，
∴△PBD∽△POC，
∴△PBD∽△COD，
∴PD：CD=BD：OD，即PD•OD=BD•CD，
∴AD²=BD•CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理．