Question

如圖，已知直線l：y=-

1

2

x-1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，拋物線y=ax²+bx+c與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與直線l相交于點(diǎn)A、D，且sin∠ACB=

5

5

．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若∠CDB=∠ACB，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)a＞0時(shí)，若點(diǎn)P是直線l下方的拋物線上一動點(diǎn)（不與A、D重合），過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，并設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示線段PM的長，并求出線段PM的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)正弦函數(shù)，可得AC的長，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得CE的長，根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等，可得CD的值，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得用含m的代數(shù)式表示線段PM的長，根據(jù)負(fù)數(shù)越小絕對值越大，可得答案．

解答：解：如圖：
（1）當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x-1=0，解得x=-2，即A（-2，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，即B（0，-1）．
sin∠ACB=

AO

AC

=

2

AC

=

5

5

，解得AC=2

5

，
由勾股定理，得
OC=

AC2-AO2

=

20-4

=4，
C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-4）；

（2）作CE⊥AD，
S_△ABC=

1

2

AB•CE=S_△AOC-S_△AOB，

1

2

5

•CE=

1

2

×2×4-

1

2

×2×1，
解得CE=

6 5

5

．
由∠CDB=∠ACB，得
sin∠CDB=

CE

CD

=sin∠ACB=

5

5

，
解得CD=6．
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)是（x，-

1

2

x-1），
由CD=6，得
x²+（-

1

2

x-1+4²=6²，
解得x₁=-

18

5

（不符合題意的要舍去），x₂=6，
把x=6代入y=-

1

2

x-1，得y=-4，即D（6，-4）．
當(dāng)A（-2，0），C（0，-4），D（6，-4）在函數(shù)圖象上，
得

4a-2b=4 36a+6b=4 c=-4

，解得

a= 1 3 b=-2 c=-4

，
拋物線的解析式為y=

1

3

x²-2x-4；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

1

3

m²-2m-4），由點(diǎn)到直線的距離公式，得
PM=

| 1 2 m+ 1 3 m2-2m-4+1|

( 1 2 )2+12

=

2| 1 3 m2- 3 2 m-3|

5

=||

2

3

m2-3m-6|×

5

5

，
PM_最大=|

2

3

×（

3

4

）²-

3

2

×

3

4

-3|×

5

5

=

225

16

．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了三角函數(shù)，勾股定理，（2）利用了等角三角函數(shù)的關(guān)系，利用了待定系數(shù)法求解析式，（3）利用了點(diǎn)到直線的距離公式．