Question

（2006•仙桃）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊三角形DEF從初始位置（點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF落在BC上，如圖1所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)M、N．當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，△DEF終止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在AB上，設(shè)△DEF平移的時(shí)間為x．
（1）求△DEF的邊長；
（2）求M點(diǎn)、N點(diǎn)在BA上的移動(dòng)速度；
（3）在△DEF開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，如果點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從D點(diǎn)出發(fā)沿DE?EF運(yùn)動(dòng)，最終運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)．若設(shè)△PMN的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出它的定義域；并說明當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PMN的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：當(dāng)F與C點(diǎn)重合時(shí)D正好在AB上，此時(shí)三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根據(jù)∠B的正弦值及BC的長求出等邊三角形的邊長；
（2）可設(shè)△DEF從初始位置移動(dòng)x秒后得到△D₁E₁F₁，那么在x秒內(nèi)M點(diǎn)移動(dòng)的距離就是BM的長，由于∠D₁MN=∠BME₁=∠ABC=30°，因此△BE₁M是個(gè)等腰三角形，過E₁作E₁G⊥BM，那么BG=GM=BM，可在直角三角形BE₁G中，根據(jù)BE₁的長求出E₁G（BE₁的長就是△BDF平移的距離），由此可得出BM的長除以用的時(shí)間即可得出M點(diǎn)的速度．求N點(diǎn)的速度解法類似，過F作FH⊥D₁F₁，設(shè)垂足為H，那么FH就是N點(diǎn)移動(dòng)的距離，同樣可在直角三角形FHF₁中求出FH的長，進(jìn)而可得出其速度；
（3）本題要先找出幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：當(dāng)P與M重合時(shí)，那么根據(jù)P的速度可表示出DM的長，而ME=BE為三角形平移的距離，據(jù)此可求出t=1．當(dāng)P到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，DP=DE，可求得此時(shí)t=．
①當(dāng)P在DM之間時(shí)，即0≤x≤1，MN的長可在直角三角形DMN中，根據(jù)DM和∠DMN的余弦值求出，過P作PP₁⊥MN于P₁，那么PP₁就是MN邊上的高，可在直角三角形MPP₁中根據(jù)MP的長和∠PMP₁的正弦值求出（MP可根據(jù)DE-DP-ME來得出）．據(jù)此可得出關(guān)于S，x函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)P在EM之間時(shí)，即1＜x≤，可過P作PP₂⊥AB與P₂，那么PP₂的長可在直角三角形PP₂M中，根據(jù)PM的長和∠BME的正弦值求出，進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求出S、x的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)P在EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即≤x≤3，解法同上．
根據(jù)上述三種情況得出的函數(shù)的性質(zhì)及各自的自變量的取值范圍，可求得S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．
解答：解：（1）當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，如圖1所示：
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°
∴FD=BC=3；

（2）過E點(diǎn)作EG⊥AB，
∵∠DEF=60°，∠B=30°，
∴∠BME=30°，
∴EB=EM
在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x，
∴BM=2BG=x，
∴M點(diǎn)在BA上的移動(dòng)速度為=，
F點(diǎn)作FH⊥F₁D₁，在Rt△FF₁H中，F(xiàn)H=x×cos30°=x，
點(diǎn)N在BA上的移動(dòng)速度為=；

（3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°==（3-x），
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，有2x+x=3，
∴x=1
①當(dāng)P點(diǎn)在DM之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P點(diǎn)作PP₁⊥AB，垂足為P₁
在Rt△PMP₁中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴PP₁=（3-3x）=（1-x），
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=×（3-x）×（1-x）=（x²-4x+3）（0≤x≤1），
②當(dāng)P點(diǎn)在ME之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P點(diǎn)作PP₂⊥AB，垂足為P₂，
在Rt△PMP₂中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴PP₂=（1-x），
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=×（3-x）×（1-x），
=-（x²-4x+3）（1＜x≤）．
③當(dāng)P點(diǎn)在EF之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，過P點(diǎn)作PP₃⊥AB，垂足為P₃，
在Rt△PMP₃中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴PP₃=（x-1），
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=×（3-x）×（x-1），
=-（x²-4x+3）（≤x≤3），
∴y=-（x-2）²+，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y_最大=，
而當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，y=×3××=，
∵＞，
∴當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，△PMN的面積最大．
點(diǎn)評(píng)：本題為動(dòng)態(tài)形問題，考查了等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．
綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．