Question

在平面直角坐標系中，對于任意兩點與的“非常距離”，給出如下定義：

若，則點與點的非常距離為；

若，則點與點的非常距離為；

例如：點（1，2），點（3，5），因為，所以點與點的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線與垂直于x軸的直線的交點）．

（1）已知點A（，0），B為y軸上的一個動點，

①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點B的坐標；

②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值．

（2）已知C是直線上的一個動點，

①如圖2，點D的坐標是（0，1），求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標；

②如圖3，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應點E和點C的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）①B（0，2）或（0，-2）；②；

（2）①最小值，C（，）；②最小值1，E（，），C（，）

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)點B位于y軸上，可以設點B的坐標為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定，據(jù)此可以求得y的值；

②設點B的坐標為（0，y）．因為，所以點A與點B的“非常距離”最小值為；

（2）①設點C的坐標為（，）．根據(jù)材料“若，則點P₁與點P₂的“非常距離”為”知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為，據(jù)此可以求得點C的坐標；

②當點E在過原點且與直線垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，即E（，）．解答思路同上．

（1）①∵B為y軸上的一個動點，

∴設點B的坐標為（0，y）,

，

解得，y=2或y=-2；

∴點B的坐標是（0，2）或（0，-2）；

②點A與點B的“非常距離”的最小值為

 

（2）①如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據(jù)運算定義“若，則點P₁與點P₂的“非常距離”為”解答，此時|=．即AC=AD，

∵C是直線上的一個動點，點D的坐標是（0，1），

∴設點C的坐標為（，），

，

解得，

∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：，

此時C（，）；

②E（，）

，

解得，

則點C的坐標為（，），

最小值為1．

考點：本題考查了一次函數(shù)的應用

點評：解答本題的關鍵是讀懂題意，正確理解題中的“非常距離”的定義。