Question

如圖，MN是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，過點(diǎn)C的直線與⊙O交于點(diǎn)A，與MN交于點(diǎn)D，過C作CE⊥BD于點(diǎn)E．
（1）CE是⊙O的切線嗎？為什么？
（2）求∠BAC的度數(shù)；
（3）若∠D=30°，BD=1+

3

，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析：（1）CE是圓O的切線，理由為：連接OB，OC，由MN為圓O的切線，得到OB垂直于MN，由∠CBN度數(shù)求出∠OBC度數(shù)，再由OB=OC，利用等邊對等角得到∠OCB=45°，而∠BCE=45°，確定出∠OCE為直角，即可得出CE為圓的切線；
（2）由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OBEC為矩形，確定出∠BOC為直角，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，求出∠BAC的度數(shù)；
（3）由OB=OC，得到矩形OBEC為正方形，設(shè)圓的半徑為r，得到CE=r，ED=BD-r，在直角三角形CED中，利用銳角三角函數(shù)定義列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到r的值．

解答：解：（1）CE是圓O的切線，理由為：
連接OB，OC，
∵M(jìn)N為圓O的切線，
∴OB⊥MN，
∴∠OBE=90°，
∵∠CBN=45°，
∴∠OBC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵∠CBN=45°，∠CEB=90°，
∴∠BCE=45°，
∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，
則CE是圓O的切線；
（2）∵∠OBE=∠BEC=∠OCE=90°，
∴四邊形OBEC為矩形，
∴∠BOC=90°，
∵∠BOC與∠BAC都對

BC

，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=45°；
（3）∵四邊形OBEC為矩形，OB=OC，
∴四邊形OBEC為正方形，
∴CE=BE=r，ED=BD-BE=1+

3

-r，
在Rt△CED中，得到tanD=

CE

DE

，即tan30°=

r

1+ 3 -r

=

3

3

，
解得：r=1．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．