Question

如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N．　
（1）求證：AE=CG；　
（2）若CD=4，CN=5，求AM的長．

Answer 1

（1）證明：∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE與△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG；

（2）解：在Rt△CDN中，CD=4，CN=5，
由勾股定理得，DN===3，
∴AN=4-3=1，
∵△ADE≌△CDG（已證），
∴∠DAE=∠DCG，
∵∠DCG+∠CND=180°-90°=90°，
∴∠DAE+∠CND=90°，
∴△AMN是直角三角形，
在△CDN與△AMN中，，
∴△CDN∽△AMN，
∴=，
即=，
解得AM=．
分析：（1）先證明∠ADE=∠CDG，再利用邊角邊定理即可證明△ADE與△CDG全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可以得到∠DAE=∠DCG，從而證出△AMN是直角三角形，利用勾股定理求出DN的長度，再求出AN，然后再利用相似三角形對應邊成比例列式即可求出AM的長．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的每條邊都相等，四個角都是直角的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，要認真分析圖形，從條件與結(jié)論的聯(lián)系入手全面考慮．