Question

（1997•河北）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t，求：
（1）t分別為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？
（2）t分別為何值時，直線PQ與⊙O相切、相離、相交？

Answer 1

分析：（1）若PQCD為平行四邊形，則需QC=PD，即3t=24-t，得t=6秒；同理只要PQ=CD，PD≠QC，四邊形PQCD為等腰梯形，如圖，過P、D分別作BC的垂線，交BC于E、F點，則EF=PD，QE=FC=2，即3t-（24-t）=4，解得t=7秒，問題得解．
（2）因為點P、Q分別在線段AD和BC上的運動，可以統(tǒng)一到直線PQ的運動中，要探求時間t對直線PQ與⊙O位置關系的影響，可先求出t為何值時，直線PQ與⊙O相切這一整個運動過程中的一瞬，再結合PQ的初始與終了位置一起加以考慮，設運動t秒時，直線PQ與⊙O相切于點G，如圖因為，AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，過p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的關于t的一元二次方程，則t可求．問題得解．

解答：解：（1）因為AD∥BC，
所以，只要QC=PD，則四邊形PQCD為平行四邊形，
此時有，3t=24-t，
解得t=6，
所以t=6秒時，四邊形PQCD為平行四邊形．
又由題意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四邊形PQCD為等腰梯形，
過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點，
則由等腰梯形的性質可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t-（24-t）=4，
解得t=7秒所以當t=7秒時，四邊形PQCD為等腰梯形．

（2）設運動t秒時，直線PQ與⊙O相切于點G，過P作PH⊥BC于點H，
則PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26-3t-t=26-4t，
由切線長定理得，AP=PG，QG=BQ，
則PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26-3t=26-2t
由勾股定理得：PQ²=PH²+HQ²，即 （26-2t）²=8²+（26-4t）²
化簡整理得 3t²-26t+16=0，
解得t₁=

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或 t₂=8，
所以，當t₁=

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或 t₂=8時直線PQ與⊙O相切．
因為t=0秒時，直線PQ與⊙O相交，
當t=

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秒時，Q點運動到B點，P點尚未運動到D點，但也停止運動，直線PQ也與⊙O相交，
所以可得以下結論：
當t₁=

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或 t₂=8秒時，直線PQ與⊙O相切；
當0≤t＜

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或8＜t≤

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（單位秒）時，直線PQ與⊙O相交；
當

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＜t＜8時，直線PQ與⊙O相離．

點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系，若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，d＞r時，圓和直線相離；d=r時，圓和直線相切；d＜r時，圓和直線相交．