Question

如圖，已知拋物線y=-x²+ax+b與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tanα-tanβ=2，∠ACB=90°．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為P，求四邊形ABPC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式知C（0，b），可設(shè)出A、B的坐標(biāo)，在Rt△ACB中，CO⊥AB，根據(jù)射影定理可得到OA•OB=OC²，可由韋達(dá)定理用b表示出OA•OB和OC²的值，根據(jù)上述等量關(guān)系即可得到b的值，由此求得C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）分別表示出tanα、tanβ的值，根據(jù)兩者的等量關(guān)系及韋達(dá)定理即可求得a的值，從而確定二次函數(shù)的解析式．
（3）由拋物線的解析式，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線PC的解析式，延長PC交x軸于D，根據(jù)直線PC的解析式即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，那么四邊形ABPC的面積即可由△PDB和△ADC的面積差求得．

解答：解：（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)A（x₁，O）、點(diǎn)B（x₂，O），且C（O，b）；
x₁＜0，x₂＞0，b＞0，
∵x₁，x₂是方程-x²+ax+b=0的兩根，
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=-b；（1分）
在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴OC²=OA•OB，
∵OA=-x₁，OB=x₂，
∴b²=-x₁•x₂=b，（2分）
∵b＞0，
∴b=1，
∴C（0，1）；（3分）

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，
tanα-tanβ=

OC

OA

-

OC

OB

=-

1

x1

-

1

x2

=-

x1+x2

x1x2

=

a

b

=2，（4分）
∴a=2，
∴拋物線解析式為：y=-x²+2x+1．（5分）

（3）∵y=-x²+2x+1，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
當(dāng)-x²+2x+1=0時(shí)，x=1±

2

，
∴A（1-

2

，0），B（1+

2

，0），（6分）
延長PC交x軸于點(diǎn)D，過C、P的直線為y=x+1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），（7分）
S_{四邊形ABPC}=S_△DPB-S_△DCA
=

1

2

•|DB|•y_p-

1

2

•|AD|•y_c
=

1

2

×(2+

2

)×2-

1

2

×(2-

2

)×1
=

2+3 2

2

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系、銳角三角形函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定以及圖形面積的求法，當(dāng)所求圖形不規(guī)則或無法直接求出其面積時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化成其他規(guī)則圖形的面積的和差來解．