Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，M在BA延長(zhǎng)線上，N在AB上，且∠MCN=45°，AM=2，BN=3，則MN=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)△ABC為等腰直角三角形的特點(diǎn)，解：過(guò)C點(diǎn)作CD⊥BM，設(shè)AN=x，則AB=AN+BN=3+x，在△CDN中，由勾股定理表CN²=CD²+ND²，由△NAC∽△NCM，利用相似比得CN²=MN•AN，兩式結(jié)合求x即可．

解答：解：過(guò)C點(diǎn)作CD⊥BM，垂足為D，
設(shè)AN=x，則AB=AN+BN=3+x，
又∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴AD=BD=CD=

1

2

AB=

3+x

2

，ND=AD-AN=

3-x

2

，
由勾股定理，得CN²=CD²+ND²，①
∵∠NAC=MCN=45°，∠ANC=∠CNM，
∴△NAC∽△NCM，
∴

NC

MN

=

AN

NC

，即CN²=MN•AN=（2+x）x，②
由①②得：（

3+x

2

）²+（

3-x

2

）²=（2+x）x，
解得x=

13

-2，
MN=AM+AN=2+x=

13

．
故答案為：

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是通過(guò)設(shè)AN=x，由已知條件表示其它的線段，利用勾股定理及相似求解．