Question

邊長為4的正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F，作PE⊥PB交直線CD于點E，設PA=x，S_△PCE=y，
（1）求證：DF=EF；
（2）當點P在線段AO上時，求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（3）在點P的運動過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能夠，請直接寫出PA的長；如果不能，請簡單說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長FP交AB于G，根據正方形的性質和已知推出矩形AGFD，得到DF=AG，證∠GBP=∠FPE，推出Rt△GBP≌Rt△FPE，推出EF=PG，根據等腰三角形的性質求出即可；
（2）根據勾股定理求出AG=DF=EF=

2

2

x，求出CE、PF，根據三角形的面積求出即可；
（3）根據等腰三角形的性質和勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：延長FP交AB于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°（正方形的四個內角都是直角）
∵PF⊥CD，
∴∠DFG=90°，
∴四邊形AGFD是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形），
∴DF=AG，∠AGF=90°，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠BAC=45°，
∴△AGP是等腰直角三角形，即AG=GP，
∴GP=DF，
同理CF=PF=BG，
∵∠GPB+∠FPE=90°，∠GPB+∠GBP=90°，
∴∠GBP=∠FPE，
在Rt△GBP和Rt△FPE中

∠GBP=∠FPE BG=PF ∠BGP=∠PFE

，
∴Rt△GBP≌Rt△FPE（ASA），
∴GP=EF，
即DF=EF．

（2）解：在Rt△AGP中，∵AP=x，
∴AG=GP=

2

2

x，
DF=EF=

2

2

x，
即DE=

2

x，
∴CE=4-

2

x，
∵PF=4-

2

2

x，
∴y=

1

2

（4-

2

x）（4-

2

2

x）=

1

2

x²-3

2

x+8，
定義域：0≤x≤2

2

，
答：y關于x的函數關系式是y=

1

2

x²-3

2

x+8，自變量x的取值范圍是0≤x≤2

2

．

（3）解：能夠，
∵∠CEP≥90°，
若△PEC為等腰三角形，只能是∠CPE=∠ECP=45°，
則PE⊥CE，
∵PE⊥PB，
∴BP∥CD，
∴BP∥BA
于是P與AB共線，又P在AC上，
∴A與P共點，
此時，PA=0；

作PE⊥PB交直線CD于點E，
當PA=4時，E在DC的延長線上，PC=CE，
△PEC為等腰三角形，
此時PA=4．

點評：本題主要考查對等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，正方形的性質，勾股定理，三角形的面積，矩形的性質和判定等知識點的連接和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．