Question

如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC=AB，⊙O經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上，連接AP、BP，且BC=8cm，AB=5cm，求∠APB的正弦值．

Answer 1

（1）解：直線AD與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：連接OA交BC于E，
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴AO⊥BC，BE=EC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴OA⊥AD，
∵OA是半徑，
∴直線AD是⊙O的切線；

（2）∵BC=8，
∴BE=EC=4，
∵AB=AC=5，
∴由勾股定理得：AE=3，
∵弧AB=弧AC，
∴∠APB=∠ACE，
則tan∠APB=tan∠ACE==．
分析：（1）連接OA根據(jù)垂徑定理得出OA⊥BC，推出OA⊥AD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出BE和EC，求出∠APB=∠ACE，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，垂徑定理，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．