Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以AB為直徑的半圓O在矩形ABCD的外部，將半圓O繞點A順時針旋轉a度（0°≤a≤180°）．

（1）在旋轉過程中，B′C的最小值是　 　，如圖2，當半圓O的直徑落在對角線AC上時，設半圓O與AB的交點為M，則AM的長為　

（2）如圖3，當半圓O與直線CD相切時，切點為N，與線段AD的交點為P，求劣弧AP的長；

（3）在旋轉過程中，當半圓弧與直線CD只有一個交點時，設此交點與點C的距離為d，請直接寫出d的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）AP的長＝；（3）4﹣≤d＜4或d＝4+.

【解析】

（1）連接B′M，則∠B′MA＝90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的長度，由∠B＝∠B′MA＝90°、∠BCA＝∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根據(jù)相似三角形的性質可求出AM的長度；

（2）連接OP、ON，過點O作OG⊥AD于點G，則四邊形DGON為矩形，進而可得出DG、AG的長度，在Rt△AGO中，由AO＝2、AG＝1可得出∠OAG＝60°，進而可得出△AOP為等邊三角形，再利用弧長公式即可求出劣弧AP的長；

（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可求出OG、DN的長度，進而可得出CN的長度，畫出點B′在直線CD上的圖形，在Rt△AB′D中（點B′在點D左邊），利用勾股定理可求出B′D的長度進而可得出CB′的長度，再結合圖形即可得出：半圓弧與直線CD只有一個交點時d的取值范圍．

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5，

在旋轉過程中，當點B′落在對角線AC上時，B′C的值最小，最小值為1；

在圖2中，連接B′M，則∠B′MA＝90°．

在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5．

∵∠B＝∠B′MA＝90°，∠BCA＝∠MAB′，

∴△ABC∽△AMB′，

∴，即，

∴AM＝；

故答案為：1，；

（2）在圖3中，連接OP、ON，過點O作OG⊥AD于點G．

∵半圓與直線CD相切，

∴ON⊥DN，

∴四邊形DGON為矩形，

∴DG＝ON＝2，

∴AG＝AD﹣DG＝1．

在Rt△AGO中，∠AGO＝90°，AO＝2，AG＝1，

∴∠AOG＝30°，∠OAG＝60°．

又∵OA＝OP，

∴△AOP為等邊三角形，

∴劣弧AP的長＝；

（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，

∴DN＝GO＝OA＝，

∴CN＝CD+DN＝4+，

當點B′在直線CD上時，如圖4所示．

在Rt△AB′D中（點B′在點D左邊），AB′＝4，AD＝3，

∴B′D＝，

∴CB′＝4﹣，

∵AB′為直徑，

∴∠ADB′＝90°，

∴當點B′在點D右邊時，半圓交直線CD于點D、B′．

∴當半圓弧與直線CD只有一個交點時，4﹣≤d＜4或d＝4+．